看了它，你離公務(wù)員就只剩一步之遙了。（史上最全公務(wù)員考試秘笈）

　 來源：

　劉瑩 1024的日志

　第一部分、數(shù)字推理 一、基本要求

　熟記熟悉常見數(shù)列，保持?jǐn)?shù)字的敏感性，同時(shí)要注意倒序。

　自然數(shù)平方數(shù)列：4，1，0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144,169，196，225，256，289，324，361，400…… 自然數(shù)立方數(shù)列：－8，－1，0，1，8，27，64，125，216，343，512，729，1000

　質(zhì)數(shù)數(shù)列：

　2，3，5，7，11，13，17……（注意倒序，如 17,13,11,7,5,3,2）

　合數(shù)數(shù)列：

　4，6，8，9，10，12，14…….（注意倒序）

　二、解題思路：

　1 基本思路：第一反應(yīng)是兩項(xiàng)間相減，相除，平方，立方。所謂萬變不離其綜，數(shù)字推理考察最基本的形式是等差，等比，平方，立方，質(zhì)數(shù)列，合數(shù)列。

　相減，是否二級等差。

　8，15，24，35，（48）

　相除，如商約有規(guī)律，則為隱藏等比。

　4，7，15，29，59，（59*2－1）初看相領(lǐng)項(xiàng)的商約為 2，再看 4*2-1=7,7*2+1＝15……

　2 特殊觀察：?

　項(xiàng)很多，分組。三個(gè)一組，兩個(gè)一組

　4，3，1，12，9，3，17，5，（12）

　三個(gè)一組

　19，4，18，3，16，1，17，（2）

　2，－1，4，0，5，4，7，9，11，（14）兩項(xiàng)和為平方數(shù)列。

　400，200，380，190，350，170，300，（130）兩項(xiàng)差為等差數(shù)列?

　隔項(xiàng)，是否有規(guī)律?

　0，12，24，14，120，16（7^3－7）

　數(shù)字從小到大到小，與指數(shù)有關(guān)

　1，32，81，64，25，6，1，1/8??隔項(xiàng)，是否有規(guī)律?

　? 0，12，24，14，120，16（7^3－7）

　每個(gè)數(shù)都兩個(gè)數(shù)以上，考慮拆分相加（相乘）法。

　87，57，36，19，（1*9+1）

　256，269，286，302，（302+3+0+2）?

　數(shù)跳得大，與次方（不是特別大），乘法（跳得很大）有關(guān)

　1，2，6，42，（42^2+42）

　3，7，16，107，（16*107-5）??

　?每三項(xiàng)/二項(xiàng)相加，是否有規(guī)律。?

　?1，2，5，20，39，（125－20－39）

　三項(xiàng)相加等于數(shù)的的立方 21，15，34，30，51，（10^2-51）?

　C=A^2－B 及變形（看到前面都是正數(shù)，突然一個(gè)負(fù)數(shù)，可以試試）

　3，5，4，21，（4^2-21）,446

　5，6，19，17，344,(-55)

　-1，0，1，2，9，（9^3+1）?

　C=A^2+B 及變形（數(shù)字變化較大）

　1，6，7，43，（49+43）

　1，2，5，27，（5+27^2）?

　??分?jǐn)?shù)，通分，使分子/分母相同，或者分子分母之間有聯(lián)系。/也有考慮到等比的可能

　2/3，1/3，2/9，1/6，（2/15）

　3/1，5/2，7/2，12/5，（18/7）分子分母相減為質(zhì)數(shù)列

　1/2，5/4，11/7，19/12，28/19，（38/30）分母差為合數(shù)列，分子差為質(zhì)數(shù)列。

　3，2，7/2，12/5，（12/1）??????????? 通分，3,2 變形為 3/1，6/3，則各項(xiàng)分子、分母差為質(zhì)數(shù)數(shù)列。

　64，48，36，27，81/4，（243/16）等比數(shù)列。

　出現(xiàn)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，則要考慮合數(shù)數(shù)列變種的可能。

　7，9，11，12，13，（12+3）

　8，12，16，18，20，（12*2）

　突然出現(xiàn)非正常的數(shù)，考慮 C 項(xiàng)等于 A 項(xiàng)和 B 項(xiàng)之間加減乘除，或者與常數(shù)/數(shù)列的變形

　2，1，7，23，83，（A*2+B*3）思路是將 C 化為 A 與 B 的變形，再嘗試是否正確。

　1，3，4，7，11，（18）

　8，5，3，2，1，1，（1－1）??

　?首尾項(xiàng)的關(guān)系，出現(xiàn)大小亂現(xiàn)的規(guī)律就要考慮。

　3，6，4，（18），12，24 首尾相乘

　10，4，3，5，4，（－2）首尾相加

　旁邊兩項(xiàng)（如 a1,a3)與中間項(xiàng)(如 a2)的關(guān)系

　1，4，3，－1，－4，－3，（ －3―（－4）

�。�

　1/2，1/6，1/3，2，6，3，(1/2)?

　??B 項(xiàng)等于 A 項(xiàng)乘一個(gè)數(shù)后加減一個(gè)常數(shù)

　3，5，9，17，（33）

　5，6，8，12，20，(20*2－4)

　如果出現(xiàn)從大排到小的數(shù)，可能是 A 項(xiàng)等于 B 項(xiàng)與 C 項(xiàng)之間加減乘除。

　157,65,27,11,5,(11-5*2)

　一個(gè)數(shù)反復(fù)出現(xiàn)可能是次方關(guān)系，也可能是差值關(guān)系

�。�1，－2，－1，2，（－7）

　差值是 2 級等差

　1，0，－1，0，7，（2^6－6^2）

　1，0，1，8，9，（4^1）

　除 3 求余題，做題沒想法時(shí)，試試（亦有除 5 求余）

　4,9,1,3,7,6,( C) A.5 B.6. C.7 D.8 （余數(shù)是 1,0,1,0,10,1) 3.怪題：

　日期型

　2100－2－9，2100－2－13，2100－2－18，2100－2－24，（2100-3-3）

　結(jié)繩計(jì)數(shù)

　1212，2122，3211，131221，（311322）

　2122 指 1212 有 2 個(gè) 1，2 個(gè)2.?? 第二部分、圖形推理 一． 基本思路：

　 看是否相加，相減，求同，留同存異，去同相加，相加再去同，一筆劃問題，筆劃數(shù)，線條數(shù)，旋轉(zhuǎn)，黑白相間，軸對稱/中心對稱，旋轉(zhuǎn)，或者答案只有一個(gè)圖可能通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)成。

　視覺推理偏向奇偶項(xiàng)，回到初始位置.

　 注：5 角星不是中心對稱 二．特殊思路：

　 1.有陰影的圖形

　可能與面積有關(guān)，或者陰影在旋轉(zhuǎn)，還有就是黑白相間。

　INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET

　第一組，1/2 1/4 1/4

　 第二組，1，1/2, (1/2 A)

　兩個(gè)陰影，里面逆時(shí)針轉(zhuǎn)，外面順時(shí)針轉(zhuǎn)。

　2． 交點(diǎn)個(gè)數(shù)

　 一般都表現(xiàn)在相交露頭的交點(diǎn)上 或者一條線段穿過多邊形 INCLUDEPICTURE ".examda.com/gwy/" \* MERGEFORMATINET

　交點(diǎn)數(shù)為，3，3，3

　 第二組為 3，3，（3）

　INCLUDEPICTURE "/gwy/" \* MERGEFORMATINET

　交點(diǎn)數(shù)為，1，1，1

　第二組為 2，2，（2）

　但是，露頭的交點(diǎn)還有其它情形。

　HYPERLINK ".cn/main/html/showpic.html" \l "url=3f7f9dde02000ebe" \t "_blank" INCLUDEPICTURE "na.com.cn/pic/3f7f9dde02000ebe" \* MERGEFORMATINET

　此題算 S 形，露頭數(shù)，1,3,5,7,9,11,(13 B ),15,17

　 3. 如果一組圖形的每個(gè)元素有很多種，則可從以下思路，元素不同種類的個(gè)數(shù)，或者元素的個(gè)數(shù)。

　出現(xiàn)一堆亂七八遭的圖形，要考慮此種可能。

　INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET

　第一組 2,4,6 種元素，第二組，1,3,（5）

　INCLUDEPICTURE "10546/10546272.jpg" \* MERGEFORMATINET

　種類，1，2，3，4（5）

　元素個(gè)數(shù)為 4，4，4

　4，4，（4）

　 4.包含的塊數(shù)

　 /

　分割的塊數(shù)

　 出現(xiàn)一些亂七八遭的圖形，或者出現(xiàn)明顯的空間數(shù)，要考慮此種可能。

　 包含的塊數(shù)，1,2,3,4,5,(6,B)

　INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET

　分割的塊數(shù)為，3，3，3，3，3，（3，A）

　 5.特點(diǎn)是，大部分有兩種不同元素，每個(gè)圖形兩種類個(gè)數(shù)各不相同。

　INCLUDEPICTURE "da.com/gwy/" \* MERGEFORMATINET

　圓形相當(dāng)于兩個(gè)方框，這樣，全都是八個(gè)方框，選 D

　6.角個(gè)數(shù)

　只要出現(xiàn)成角度圖形都需要注意

　 INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET

　 3，4，5，6,(7)

　 7.直線/曲線出現(xiàn)時(shí)，有可能是，線條數(shù)�；蛘�，都含曲線，都含直線，答案都不含直線，都不含曲線。

　INCLUDEPICTURE "http://" \* MERGEFORMATINET

　 線條數(shù)是，3，3，3

　 4，4，4

　 8. 當(dāng)出現(xiàn)英文字母時(shí)，有可能是筆劃數(shù)，有可能是是否直線/曲線問題，又或者是相隔一定數(shù)的字母。

　 如，

　C S U ,

　D B ?

　 A.P

　B.O

　C.L

　D.R

　 分析：C,S,U 都是一筆， D,B,P 都是兩筆。

　 INCLUDEPICTURE "mda.com/gwy/" \* MERGEFORMATINET

　 分析：B，Q，P 都含直線，曲線。A,V,L 都只含直線。

　 K,M,O

　 D,F,?

　 A.L

　 B.H

　C,P

　D.Z

　 分析：K,M 相距 2，O 和 M 距 2，D 和 F 距 2，F(xiàn) 和 H 距 2

　 A,E,I

　J,N,?

　 A.G

　B.M

　 C.T

　D.R

　分析：A,E,I 是第 1,5,9 個(gè)字母， J,N，R 是第 10,14，18

　 9.明顯的重心問題

　INCLUDEPICTURE "u521.com/campus/article/upload" \* MERGE

　FORMATINET

　 重心變化，下，中，上

　下，中，（上），選 C

　 10.圖形和漢字同時(shí)出現(xiàn)，可能是筆劃數(shù)

　 INCLUDEPICTURE ".cn/gwy/ms/W020070849.jpg" \* MERGEFORMATINET

　筆劃數(shù)為，1，2，3，2，（1）

　出現(xiàn)漢字，可是同包含

　 愛，僅，叉，圣，？A.天 B.神 C.受 D 門

　同包含“又”

　11.圖形有對稱軸時(shí)，有可能是算數(shù)量

　第一組對稱軸數(shù)有，3，4，無數(shù) 都三條以上

　第二組，5，4，（3條以上）

　 12.九宮格的和差關(guān)系，可能是考察行與行之間的關(guān)系。

　 第一行，等于第二行加第三行。

　 也可能是考察，一行求和后，再考察行與行之間的關(guān)系。

　HYPERLINK "/main/html/showpic.html" \l "url=" \t "_blank" INCLUDEPICTURE "m.sina.com.cn/pic/3f7f9dde02000ebg" \* MERGEFORMATINET

　 13. 5,3,0,1,2，（4）

　 遇到數(shù)量是這種類型的，可能是整體定序后是一個(gè)等差數(shù)列。慎用。

　HYPERLINK "hoto.sina.com.cn/showpic.html" \l "blogid=46c069da0100a99v&url=46c069da451f8a82f7ea0" \t "_blank" INCLUDEPICTURE "ina.com.cn/bmiddle/46c069da451f8a82f7ea0" \* MERGEFORMATINET

　 析：觀察所給出的左邊的圖形，出方框范圍的線條有 3，5，1，2，0，如果再加上 4 就構(gòu)成了一個(gè)公差為 1 的等差數(shù)列，選項(xiàng) C 有 4個(gè)出方框范圍的線條，故選 C。

　14.數(shù)字九宮格 這類九宮格一般把中間數(shù)化為兩數(shù)相乘。

　26＝2*13＝2*（7+8－2）10＝2*5＝2*（3+6－4）所求項(xiàng)為 2*(9

　+2-3)=16

　15.如果有明顯的開口時(shí)，要考慮開口數(shù)。要注意這種題型越來越多。

　例：第一組是 D

　A

　N

　 第二組是 L

　S

　 ?

　選項(xiàng)：A.W

　B.C

　C.R D.Q

　析：因?yàn)榈谝唤M開口數(shù) 0,1,2 第二組開口數(shù)是 1,2,3(A)

　第三部分、判斷推理

　最關(guān)鍵的地方，看清題目，問的是不能還是能，加強(qiáng)還是削弱（是否有“除了”這個(gè)詞）

　一．最多與最少

　概念之間的關(guān)系主要可以分為三大類：

　一是包含，如“江蘇人”與“南京人”；

　二是交叉，如“江蘇人”與“學(xué)生”；

　三是全異，如“江蘇人”與“北京人”。

　全異的人數(shù)最多，全包含的人數(shù)最少，以下面例子為例。

　例 1：房間里有一批人，其中有一個(gè)是沈陽人，三個(gè)是南方人，兩個(gè)是廣東人，兩個(gè)是作家，三個(gè)是詩人。如果以上介紹涉及到了房間中所有的人，那么，房間里最少可能是幾人，最多可能是幾人？

　析：廣東人是南方人，所以三個(gè)南方人和兩個(gè)廣東人，其實(shí)只有 3 個(gè)人�，F(xiàn)考慮全異的情況，即沈陽人，南方人，都不是作家和詩人，這樣人數(shù)會(huì)最多。1+3+2+3=9,最多 9 人�，F(xiàn)考慮全包含的情況，假設(shè)

　南方人中，3 個(gè)全是詩人，有兩個(gè)是廣東人，有兩個(gè)南方人是作家，已經(jīng)占 3 個(gè)人了；這樣沈陽人也是 1 人，即最少有 4 人。（本題最容易忽略的是，南方人有可能既是作家，又是詩人，最少的就是把少的包在多的中）

　例 2：某大學(xué)某某寢室中住著若干個(gè)學(xué)生，其中，1 個(gè)哈爾濱人，2個(gè)北方人，1 個(gè)是廣東人，2 個(gè)在法律系，3 個(gè)是進(jìn)修生。因此，該寢室中恰好有 8 人。以下各項(xiàng)關(guān)于該寢室的斷定是真的，都能加強(qiáng)上述論證，除了

　A、題干中的介紹涉及了寢室中所有的人。

　B、廣東學(xué)生在法律系。

　C、哈爾濱學(xué)生在財(cái)經(jīng)系。

　D、進(jìn)修生都是南方人。

　析：本題，哈爾濱人是北方人，則寢室最多的人數(shù)是：2+1+2+3＝8人，因?yàn)閷嬍艺��?8 人，所以，北方人，廣東人，法律系，進(jìn)修生，全部是相異的，一旦有交叉，必然造成寢室人數(shù)少于 8 人。所以選 B 二．應(yīng)該注意的幾句話

　1.不可能所有的錯(cuò)誤都能避免 不可能所有的錯(cuò)誤都能避免，怎么理解？

　A.???? 可能有的錯(cuò)誤不能避免? B.必然有的錯(cuò)誤不能避免。

　答案是 B，不可能所有的錯(cuò)誤都能避免，說明了至少存在一個(gè)例子錯(cuò)誤是不能避免的，可能有一個(gè)例子，可能有很多個(gè)例子，即必然有的

　錯(cuò)誤不能避免�？赡苡械腻e(cuò)誤不能避免，只是可能，說明有可能所有的錯(cuò)誤都能避免。

　2.

　A.? 婦女能頂半邊天，祥林嫂是婦女，所以，祥林嫂能頂半邊天。

　此句話推理有誤。因?yàn)閶D女能頂半邊天的婦女是全集合概念，與祥林嫂是婦女中的婦女的概念不一至。類似于，孩子都是祖國的花朵，花朵都需要澆水，所以孩子都需要澆水。又，魯迅的小說不是一天能讀完的，《吶喊》是魯迅的小說，所以，《吶喊》不是一天能讀完的。錯(cuò)誤，因?yàn)榍懊嫘≌f是相對魯迅所有小說，集合的概念，后項(xiàng)是非集合概念。

　2.

　B.? 對網(wǎng)絡(luò)聊天者進(jìn)行了一次調(diào)查，得到這些被調(diào)查的存不良企圖的網(wǎng)絡(luò)聊天者中，一定存在精神空虛者。

　那么能不能得出“存在不良企圖網(wǎng)絡(luò)聊天者中一定有精神空虛者”呢？答案是否定的，因?yàn)橐�得出的結(jié)論是全集的概念，而題干只是針對調(diào)查者。

　2.

　C.? 對近三年刑事犯調(diào)查表明，60%都為己記錄在案的 350 名慣犯所為。報(bào)告同時(shí)揭示，嚴(yán)重刑事犯罪案件的作案者半數(shù)以上是吸毒者。

　那么能不能得出“350 名慣犯中一定有吸毒者”呢？不能。因?yàn)?60%是指案件，而半數(shù)指的是作案者。假如案件有 1000 個(gè)案犯，其中 35

　0 名慣犯做了 600 件案子，其他６５０名案犯才做了 400 件案子，那么如果 650 名全部吸了毒，而 350 全不吸毒，也符合嚴(yán)重刑事犯罪案件的作案者半數(shù)以上是吸毒者（65%吸了毒）。另外一種說法，嚴(yán)重刑事犯罪案件的作案案件半數(shù)中一定有案件是 350 名慣犯里的人做的，這個(gè)就正確了。

　3.或者，或者 要么，要么

　或者 A，或者 B 這個(gè)關(guān)聯(lián)詞表示，可能是 A 成立，可能是 B 成立，可能是 A/B 都成立。

　例如，魯迅或者是文學(xué)家，或者是革命家。表示，魯迅可能是文學(xué)家，可能是革命家，可能是文學(xué)革命家。

　如果是要么，要么，則只有兩個(gè)可能性，文學(xué)家，和革命家。

　4.并非某女年輕漂亮/（并非毛澤東既是軍事家，又是文學(xué)家）

　這句話表示，某女可能年輕不漂亮，可能漂亮不年輕，可能即不漂亮也不年輕。

　毛澤東可能是軍事家不是文學(xué)家，可能是文學(xué)家但不是軍事家，可能既不是軍事家也不是文學(xué)家。

　5.A:我主張小王和小孫至少提拔一人 B:我不同意

　B 的意思是，小王和小孫都不提拔。因?yàn)槿绻�提拔任何一人，都滿足了 A 的話，即同意了 A。

　6.如果天下雨，那么地上濕。類似的短語（只要,就；如果，那么；一，就）

　第一，現(xiàn)在天下雨了，那么地上濕不濕呢？濕

　第二，現(xiàn)在天沒下雨，地上濕不濕呢？不一定

　第三，現(xiàn)在地上濕了，天有沒有下雨呢？不一定

　第四，現(xiàn)在地上沒濕，天有沒有下雨呢？沒有。

　7.只有天下雨，地上才會(huì)濕。類似的短語（除非，才；沒有，就沒有；不，就不）

　表示的含義??? 1.天下雨，地不一定會(huì)濕。

　2.天不下雨，地一定不會(huì)濕。

　8.A:所有的同學(xué)都是江蘇人；B：不同意

　B 的意思是，必然有同學(xué)不是江蘇人，但可以全部都不是江蘇人，也可以是有部分同學(xué)不是江蘇人。

　9.發(fā)牢騷的人都能夠不理睬通貨膨脹的影響。

　這句話意思是，只要是發(fā)牢騷的，就能不理睬通貨膨脹的影響。

　但，不理睬通貨膨脹的影響的人，不一定是發(fā)牢騷的人。

　10.所有的貪污犯都是昌吉人;所有的貪污犯都不是昌吉人。

　第一句話，不能理解為，所有昌吉人都是貪污犯人。但只要是貪污犯，都是昌吉人。

　第二句話，可以理解為，所有的昌吉人都不是貪污犯。因?yàn)橐坏┎�吉人是貪污犯，則不是昌吉人，所以昌吉人不可能是貪污犯。即所有昌吉人都不是貪污犯。

　11.主板壞了，那么內(nèi)存條也一定出了故障。

　這種假設(shè)命題，除非能證明，“主板壞了，那么內(nèi)存條不一定/沒出故障。”否則，不能認(rèn)為主板就一壞了。也就是即使主板確定是好好的，這個(gè)命題也是真的。

　12.推理方式的正確性

　題目給的是：所有的讀書人都有熬夜的習(xí)慣，張目經(jīng)常熬夜，所以，張目一定是讀書人。

　這個(gè)命題是不一定準(zhǔn)確的。

　選項(xiàng)：所有的素?cái)?shù)都是自然數(shù)，91 是自然數(shù)，所以 91 是素?cái)?shù)。

　這個(gè)命題是錯(cuò)誤的，因?yàn)?91 是復(fù)數(shù)，由此，題目推理方式不同。

　有時(shí)的題目是，題干正確，那么也要選正確的。

　13.除非談判馬上開始，否則有爭議的雙方將有一方會(huì)違犯�；饏f(xié)議。

　談?wù)勸R上開始了，能保證有爭議的雙方不會(huì)有一方違犯停火協(xié)議嗎？答案是不能。題目意思是說，只有談判馬上開始，有爭議的雙方才能不會(huì)有一方違犯�；饏f(xié)議。只是�；鸬臈l件。? 14.正確的三段論和錯(cuò)誤的三段論

　正確的三段論：

　所有的聰明人都近視，

　有些學(xué)生是聰明人，

　有些學(xué)生近視。

　錯(cuò)誤的三段論如：

　所有的聰明人都近視，

　有些學(xué)生不聰明，

　有些學(xué)生不近視。

　三．充分必要條件萬能寶典

　A＝>B，表示，A 是 B 成立的充分條件，B 是 A 成立的必要條件。A能推出 B，B 成立卻不一定推出 A 成立。沒有 B 就沒有 A，不是 B 就決不會(huì)有 A，只要 A 成立，B 一定要成立。

　A＝>B，B=>C,則 A=>C。

　1.只有博士，才能當(dāng)教授。只有通過考試，才能當(dāng)博士。

　不是博士，不能當(dāng)教授。博士是當(dāng)教授的必要條件，教授一定是博士，博士不一定是教授。

　1 式：教授＝》是博士

　不通過考試，不能當(dāng)博士。通過考試是當(dāng)博士的必要條件，博士一定通過考試，通過考試不一定是博士，可能還要其它條件。

　2 式：是博士＝》通過了考試

　聯(lián)合得，教授＝》通過了考試 2.只有住在廣江市的人才能夠不理睬通貨膨脹的影響；如果住在廣江市，就得要付稅；每一個(gè)付稅的人都要發(fā)牢騷。

　根據(jù)上述判斷，可以推出以下哪項(xiàng)一定是真的？

�。�1）每一個(gè)不理睬通貨膨脹影響的人都要付稅。

�。�2）不發(fā)牢騷的人中沒有一個(gè)能夠不理睬通貨膨脹的影響。

�。�3）每一個(gè)發(fā)牢騷的人都能夠不理睬通貨膨脹的影響?

　?析：第一句話，說明，不理睬＝》廣江市；第二句，廣江＝》付稅；第三句，付稅＝》發(fā)牢騷。則? 不理睬＝》? 在廣江市? ＝》? 付稅?? ＝》?? 發(fā)牢騷

　由此，(1),可得之。（2），發(fā)牢騷是不理睬的必要條件，不發(fā)牢騷，就不能不理睬。

�。�3），只有發(fā)牢騷，才能不理睬。但發(fā)牢騷了，不代表不理睬。

　則選（1）（2）

　四．加強(qiáng)、削弱、和前提 1 審題 要分辨題目是加強(qiáng)還是削弱還是前提，看清題意（有沒有“除了”這些字眼），不要看到一個(gè)選項(xiàng)就自以為是選上，實(shí)際上和題目要求相反。

　另一個(gè)重點(diǎn)是，分清問的是什么？論據(jù)，論證，論點(diǎn)

　論點(diǎn)是統(tǒng)帥,解決“要證明什么”的問題;論據(jù)是基礎(chǔ),解決“用什么來證明”的問題;論證是達(dá)到論點(diǎn)和論據(jù)同意的橋梁。

　答題時(shí)要審好題目，題意是要加強(qiáng)/削弱什么？論據(jù)，論證，還是觀點(diǎn)。

　例：

　有一句話，“學(xué)雷鋒不好！因?yàn)槔卒h以前就是個(gè)貪圖小便宜、損人利己的壞人。如果學(xué)了雷鋒，那么就沒時(shí)間學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)，就沒時(shí)間進(jìn)

　行自我修養(yǎng)。”

　其中，學(xué)雷鋒不好是我的論點(diǎn)，雷鋒以前是什么樣的人是我的論據(jù)。學(xué)了雷鋒就怎樣怎樣這一推斷過程，算是我的論證。

　要反駁削弱，如果你直接咬住“學(xué)雷鋒不好”這一錯(cuò)誤觀點(diǎn)，來批駁我，就是駁論點(diǎn)；如果你列舉真實(shí)的雷鋒事跡，來批駁我關(guān)于雷鋒是什么樣的人的論據(jù)，就是駁論據(jù)；如果你找出我的邏輯錯(cuò)誤或者論述過程中的結(jié)果錯(cuò)誤，來批駁我，就是駁論證。? 2.解削弱型

　解答此類試題，一般要先弄清楚題干所描述的論點(diǎn)、論據(jù)和論證的關(guān)系。如果是削弱結(jié)論，則從題干所描述的論點(diǎn)的反向思考問題，一般就是找論點(diǎn)的矛盾命題，或是與論點(diǎn)唱反調(diào)的命題；如果是削弱論證，則主要從論點(diǎn)和論據(jù)之間的邏輯關(guān)系方面思考問題；如果是削弱論據(jù)，則從論據(jù)的可靠性角度試考問題。

　如果題目是不能削弱，則是要找出，和論據(jù)/論證/論點(diǎn) 不相干的一項(xiàng)或者加強(qiáng)的一項(xiàng)。

　五．一些題型?

　1.這種判斷甲乙丙是誰的題，從出現(xiàn)過兩次的那個(gè)人入手。

　例：世界田徑錦標(biāo)賽 3000 米決賽中，跑在最前面的甲、乙、丙三人中，一個(gè)是美國選手，一個(gè)是德國選手，一個(gè)是肯尼亞選手，比賽結(jié)束后得知：

�。�1）甲的成績比德國選手的成績好。

　（2）肯尼亞選手的成績比乙的成績差。

�。�3）丙稱贊肯尼亞選手發(fā)揮出色。

　則，甲，乙，丙分別是？

　析：（2），（3）中，肯尼亞出現(xiàn)兩次，從此切入，肯尼亞不是乙，肯尼亞不是丙，則肯尼亞是甲。又由 1，肯尼亞比德國成績好，肯尼亞又比乙差，則德國不是乙，是丙。美國是乙。

　2．定義判斷的注意事項(xiàng)

　定義判斷一定要注意，題目問的是不屬于，還是屬于。

　定義判斷一般是判斷是否屬于“屬”，再看是否符合“種差”。

　注：邏輯推理可以通過 MBA 邏輯書籍進(jìn)行超級強(qiáng)化。

　第四部分、數(shù)學(xué)運(yùn)算（注意運(yùn)算不要算錯(cuò)，看錯(cuò)�。�！越簡單的題，越要小心陷阱）

　一．排列組合問題 1. 能不用排列組合盡量不用。用分步分類，避免錯(cuò)誤 2. 分類處理方法，排除法。

　例：要從三男兩女中安排兩人周日值班，至少有一名女職員參加，有（C1/2 *C1/3 +1）種不同的排法?

　析：當(dāng)只有一名女職員參加時(shí)，C1/2* C1/3； 當(dāng)有兩名女職員參加時(shí)，有 1 種 3．特殊位置先排 例：某單位安排五位工作人員在星期一至星期五值班，每人一天且不重復(fù)。若甲憶兩人都不能安排星期五值班，則不同的排班方法共有（3 * P4/4）?

　 析：先安排星期五，后其它。

　4. 相同元素的分配（如名額等，每個(gè)組至少一個(gè)），隔板法。

　例：把 12 個(gè)小球放到編號不同的 8 個(gè)盒子里，每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球，共有（C7/11）種方法。?

　 ：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，共有 12－1 個(gè)空，用 8－1 個(gè)隔板插入，一種插板方法對應(yīng)一種分配方案，共有 C7/11 種，即所求。

　 注意：如果小球也有編號，則不能用隔板法。

　5. 相離問題（互不相鄰）用插空法

　例：7 人排成一排，甲、乙、丙 3 人互不相鄰，有多少種排法？?

　 析：| 0 | 0 | 0 | 0 |,分兩步。第一步，排其它四個(gè)人的位置，四個(gè) 0 代表其它四個(gè)人的位置，有 P4/4 種。第二步，甲乙丙只能分別出現(xiàn)在不同的 | 上，有 P3/5 種，則 P4/4 * P3/5 即所求。

　例：在一張節(jié)目表中原有 8 個(gè)節(jié)目，若保持原有的相對順序不變，再增加三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法 析：思路一，用二次插空法。先放置 8 個(gè)節(jié)目，有 9 個(gè)空位，先插一個(gè)節(jié)目有 9 種方法，現(xiàn)在有 10 個(gè)空位，再插一個(gè)節(jié)目有 10 種方法，現(xiàn)有 11 種空位，再插一種為 11 種方法。則共有方法 9*10*11。?

　????? 思路二，可以這么考慮，在 11 個(gè)節(jié)目中把三個(gè)節(jié)目排定后，剩下的 8 個(gè)位置就不用排了，因?yàn)?8 個(gè)位置是固定的。因此共有方法 P3/11? 6. 相鄰問題用捆綁法?

　????? 例：7 人排成一排，甲、乙、丙 3 人必須相鄰，有多少種排法？?

　????? 析：把甲、乙、丙看作整體 X。第一步，其它四個(gè)元素和 X 元

　素組成的數(shù)列，排列有 P5/5 種；第二步，再排 X 元素，有 P3/3 種。則排法是 P5/5 * P3/3 種。? 7. 定序問題用除法 ????? 例：有 1、2、3，...，9 九個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字的 5 位數(shù)？?

　????? 析：思路一：1－9，組成 5 位數(shù)有 P5/9。假設(shè)后三位元素是（A和 B 和 C，不分次序，ABC 任取）時(shí)（其中 B>C>A）,則這三位是排定的。假設(shè) B、C、A 這個(gè)順序，五位數(shù)有 X 種排法，那么其它的 P3/3-1 個(gè)順序，都有 X 種排法。則 X*(P3/3-1+1)=P5/9,即 X=P5/9 / P3/3?

　????? 思路二：分步。第一步，選前兩位，有 P2/9 種可能性。第二步，選后三位。因?yàn)楹笕�位只要�?shù)字選定，就只有一種排序，選定方式有C3/7 種。即后三位有 C3/7 種可能性。則答案為 P2/9 * C3/7? 8. 平均分組 例：有 6 本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人兩本。有多少種不同的分法？

　析：分三步，先從 6 本書中取 2 本給一個(gè)人，再從剩下的 4 本中取 2本給另一個(gè)人，剩下的 2 本給最后一人，共 C2/6* C2/4 * C2/2 例：有 6 本不同的書，分成三份，每份兩本。有多少種不同的分法？

　析：分成三份，不區(qū)分順序，是無序的，即方案(AB,CD,EF)和方案（A

　B,EF,CD）等是一樣的。前面的在（C2/6* C2/4 * C2/2）個(gè)方案中，每一種分法，其重復(fù)的次數(shù)有 P3/3 種。則分法有，（C2/6* C2/4 * C2/2）

　/?? P3/3 種分法。

　二．日期問題 1.閏年，2 月是 29 天。平年，28 天。

　2.口訣：

　平年加 1，閏年加 2；(由平年 365 天/7=52 余 1 得出)。

　例：2002 年 9 月 1 號是星期日? 2008 年 9 月 1 號是星期幾？

　因?yàn)閺?2002 到 2008 一共有 6 年，其中有 4 個(gè)平年，2 個(gè)閏年，求星期，則：

　4X1+2X2=8，此即在星期日的基礎(chǔ)上加 8，即加 1，第二天。

　例：2004 年 2 月 28 日是星期六,那么 2008 年 2 月 28 日是星期幾？?

　4+1＝5，即是過 5 天，為星期四。

　（08 年 2 月 29 日沒到）

　三．集合問題 1.兩交集通解公式（有兩項(xiàng)）

　公式為：滿足條件一的個(gè)數(shù)+滿足條件二的個(gè)數(shù)－兩者都滿足的個(gè)數(shù)＝總個(gè)數(shù)-兩者都不滿足的個(gè)數(shù)

　其中滿足條件一的個(gè)數(shù)是指 只滿足條件一不滿足條件二的個(gè)數(shù) 加上 兩條件都滿足的個(gè)數(shù)? 公式可以畫圖得出

　例：有 62 名學(xué)生，會(huì)擊劍的有 11 人，會(huì)游泳的有 56 人，兩種都不會(huì)用的有 4 人，問兩種都會(huì)的學(xué)生有多少人？?

　思路一：兩種都會(huì)+只會(huì)擊劍不會(huì)游泳+只會(huì)游泳不會(huì)擊劍＝62－4?

　設(shè)都會(huì)的為 T，11－T+56-T+T＝58，求得 T=9?

　思路二：套公式，11+56－T＝62－4，求得 T＝9 例：對某小區(qū) 432 戶居民調(diào)查汽車與摩托車的擁有情況，其中有汽車的共 27 戶，有摩托車的共 108 戶，兩種都沒有的共 305 戶，那么既有汽車又有摩托車的有多少戶？?

　析：套用公式 27+108－T=432-305 得 T=8 2.三交集公式（有三項(xiàng)）

　例：學(xué)校教導(dǎo)處對 100 名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果有 58 人喜歡看球賽，有 38 人喜歡看戲劇，有 52 人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇（但不喜歡看電影）的有 6 人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇（但不喜歡看球賽）的有 4 人，三種都喜歡的有 12 人，則只喜歡看電影的人有多少人？

　INCLUDEPICTURE "m/zzallenzz/654236673275/zybx1c5b.jpg" \* M

　ERGEFORMATINET

　如圖， U=喜歡球賽的 + 喜歡戲劇的 + 喜歡電影的?

　X 表示只喜歡球賽的人； Y 表示只喜歡電影的人； Z 表示只喜歡戲劇的人?

　T 是三者都喜歡的人。即陰影部分。

　a 表示喜歡球賽和電影的人。僅此 2 項(xiàng)。不喜歡戲劇

　b 表示喜歡電影和戲劇的人。僅此 2 項(xiàng)。不喜歡球賽

　c 表示喜歡球賽和戲劇的人。僅此 2 項(xiàng)。不喜歡電影。?

　A=X+Y+Z,B=a+b+c,A 是只喜歡一項(xiàng)的人，B 是只喜歡兩項(xiàng)的人，T是喜歡三項(xiàng)的人。?

　則U=喜歡球賽的 + 喜歡戲劇的 + 喜歡電影的 = (x＋a＋c＋T) + (y＋a＋b＋T) + (z＋b＋c＋T)

　整理，即

　A+2B+3T＝至少喜歡一項(xiàng)的人數(shù)人

　又：A+B+T＝人數(shù)

　再 B+3T＝ 至少喜歡 2 項(xiàng)的人數(shù)和?

　則

　原題解如下：?

　A+2*(6+4+c)+3*12=58+38+52?

　A+(6+4+c)+12=100?

　求得 c=14?

　則只喜歡看電影的人=喜歡看電影的人數(shù)-只喜歡看電影又喜歡球賽的人-只喜歡看電影又喜歡看戲劇的人-三者都喜歡的人=52-14－4－12＝22 人

　四．時(shí)鐘問題

　1.時(shí)針與分針

　分針每分鐘走 1 格，時(shí)針每 60 分鐘 5 格，則時(shí)針每分鐘走 1/12 格，每分鐘時(shí)針比分針少走 11/12 格。

　INCLUDEPICTURE "allenzz/125136673274/8ewbl47z.jpg" \* MERGEFORMATINET

　例：現(xiàn)在是 2 點(diǎn)，什么時(shí)候時(shí)針與分針第一次重合？

　析：2 點(diǎn)時(shí)候，時(shí)針處在第 10 格位置，分針處于第 0 格，相差 10 格，則需經(jīng)過 10 /? 11/12 分鐘的時(shí)間。

　例：中午 12 點(diǎn)，時(shí)針與分針完全重合，那么到下次 12 點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針重合多少次？

　析：時(shí)針與分針重合后再追隨上，只可能分針追及了 60 格，則分針追趕時(shí)針一次，耗時(shí) 60 / 11/12 ＝720/11 分鐘，而 12 小時(shí)能追隨及12*60 分鐘/ 720/11 分鐘/次=11 次，第 11 次時(shí)，時(shí)針與分針又完全重合在 12 點(diǎn)。如果不算中午 12 點(diǎn)第一次重合的次數(shù)，應(yīng)為 11 次。如果題目是到下次 12 點(diǎn)之前，重合幾次，應(yīng)為 11-1 次，因?yàn)椴凰阕詈笠淮沃睾系拇螖?shù)。

　2.分針與秒針

　秒針每秒鐘走一格，分針每 60 秒鐘走一格，則分針每秒鐘走 1/60 格，每秒鐘秒針比分針多走 59/60 格?

　例：中午 12 點(diǎn)，秒針與分針完全重合，那么到下午 1 點(diǎn)時(shí)，兩針重合多少次？

　析：秒針與分針重合，秒針走比分針快，重合后再追上，只可能秒針追趕了 60 格，則秒針追分針一次耗時(shí)，60 格/ 59/60 格/秒= 3600/59 秒。而到 1 點(diǎn)時(shí)，總共有時(shí)間 3600 秒，則能追趕，3600 秒 / 3600/59 秒/次=59 次。第 59 次時(shí)，共追趕了，59 次*3600/59 秒/次=3600秒，分針走了 60 格，即經(jīng)過 1 小時(shí)后，兩針又重合在 12 點(diǎn)。則重合了 59 次。

　3.時(shí)針與秒針

　時(shí)針每秒走一格，時(shí)針 3600 秒走 5 格，則時(shí)針每秒走 1/720 格，每秒鐘秒針比時(shí)針多走 719/720 格。?

　例：中午 12 點(diǎn)，秒針與時(shí)針完全重合，那么到下次 12 點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與秒針重合了多少次??

　析：重合后再追上，只可能是秒針追趕了時(shí)針 60 格，每秒鐘追 719/720 格，則要一次要追 60 / 719/720=43200/719 秒。而 12 個(gè)小時(shí)有12*3600 秒時(shí)間，則可以追 12*3600/43200/719＝710 次。此時(shí)重合在 12 點(diǎn)位置上，即重合了 719 次。

　4.成角度問題

　例：在時(shí)鐘盤面上，1 點(diǎn) 45 分時(shí)的時(shí)針與分針之間的夾角是多少？

　INCLUDEPICTURE "enzz/729196673273/guy066k2.jpg" \* MERGEFORMATINET

　 析：一點(diǎn)時(shí)，時(shí)針分針差 5 格，到 45 分時(shí)，分針比時(shí)針多走了 11/12*45＝41.25 格，則分針此時(shí)在時(shí)針的右邊 36.25 格，一格是 360/60＝6 度，則成夾角是,36.25*6=217.5 度。

　5.相遇問題?

　例：3 點(diǎn)過多少分時(shí)，時(shí)針和分針離“3”的距離相等，并且在“3”的兩邊？?

　析：作圖，此題轉(zhuǎn)化為時(shí)針以每分 1/12 速度的速度，分針以每分 1格的速度相向而行，當(dāng)時(shí)針和分針離 3 距離相等，兩針相遇，行程 15 格，則耗時(shí) 15 / 1+ 1/12 =180/13 分。

　例：小明做作業(yè)的時(shí)間不足 1 時(shí)，他發(fā)現(xiàn)結(jié)束時(shí)手表上時(shí)針、分針的位置正好與開始時(shí)時(shí)針、分針的位置交換了一下。小明做作業(yè)用了多少時(shí)間？?

　析：

　INCLUDEPICTURE "llenzz/576906673273/cd3ep3ej.jpg" \* MERGEFORMATINET ?

　只可能是這個(gè)圖形的情形，則分針走了大弧 B-A，時(shí)針走了小弧 A-B，即這段時(shí)間時(shí)針和分針共走了 60 格，而時(shí)針每分鐘 1/12 格，分針 1格，則總共走了 60/ (1/12+1)=720/13 分鐘，即花了 720/13 分鐘。? 五．方陣問題 1、方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層的總?cè)藬?shù)多 8

　2、每邊人數(shù)與該層人數(shù)關(guān)系是：最外層總?cè)藬?shù)＝（邊人數(shù)－1）×4?

　3、方陣總?cè)藬?shù)＝最外層每邊人數(shù)的平方

　4、空心方陣的總?cè)?或物)數(shù)=（最外層每邊人(或物)數(shù)－空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4

　5、去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)*2-1

　例：某校的學(xué)生剛好排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是 96 人，問這個(gè)學(xué)校共有學(xué)生？

　析：最外層每邊的人數(shù)是 96/4+1＝25，剛共有學(xué)生 25*25=625

　例：五年級學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽，他們排成甲乙兩個(gè)方陣，其中甲方陣每邊的人數(shù)等于 8，如果兩隊(duì)合并，可以另排成一個(gè)空心的丙方陣，丙方陣每邊的人數(shù)比乙方陣每邊的人數(shù)多 4 人，甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心。五年級參加廣播操比賽的一共有多少人? 析：設(shè)乙最外邊每人數(shù)為 Y，則丙為 Y+4.

　8*8+Y*Y+8*8=(Y+4)(Y+4)

　求出 Y=14,則共有人數(shù)：14*14+8*8＝260 例：明明用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，如果最外層每邊有圍棋子15 個(gè)，明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少棋子？擺這個(gè)三層空心方陣共用了多少個(gè)棋子?

　析：最外層有(15-1)*4=56 個(gè)。則里二層為 56-8*2=40

　應(yīng)用公式，用棋子（15－3）*3*4＝144 六．幾何問題 1.公式

　INCLUDEPICTURE "oo.com/zzallenzz/274586673273/uqtcofez.jpg" \* MERGEFORMATINET

　 INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET

　補(bǔ)：扇形面積＝1/2*r*l ???其中 r 為半徑，l 為弧長。

　2.兩三角形，有一角成互補(bǔ)角，或者有一角重合的面積關(guān)系。

　INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET

　圖 1 中，Sabc / Scde=BC/CE * AC/CD

　圖 2 中，Sabc / Sade=AB/AD * AC/AE (皆可通過作高，相似得到) 例：

　如圖，三角形 ABC 的面積為 1，并且 AE=3AB，BD=2BC，那么△BDE 的面積是多少？

　 Sbde=Sabc * BE/AB * BD/BC =1 * 2 * 2 =4? 例：

　例 4 如下圖，將凸四邊形 ABCD 的各邊都延長一倍至 A′、B′、 C′、D′，連接這些點(diǎn)得到一個(gè)新的四邊形 A′B′C′D′，若四邊形 A′B′C′D′的面積為 30 平方厘米，那么四邊形 ABCD的面積是多少？

　INCLUDEPICTURE "oo.com/zzallenzz/543496673270/3ggo9w4b.jpg" \* MERGEFORMATINET ?

　Sa’ad’+Sb’cc’=2*Sabcd

　同理 Sa’b’b+Sdc’d’=2Sabcd

　則 Sabcd=30/(2+2+1)=6 3.圓分割平面公式

　公式為：N^2-N+2,其中 N 為圓的個(gè)數(shù)。

　一個(gè)圓能把平面分成兩個(gè)區(qū)域，兩個(gè)圓能把平面分成四個(gè)區(qū)域，問四個(gè)圓能最多把平面分成多少個(gè)區(qū)域？(4^2-4+2 ) 4.最大和最小

�。�1）等面積的所有平面圖形當(dāng)中，越接近圓的圖形，其周長越小。

�。�2）等周長的所有平面圖形當(dāng)中，越接近圓的圖形，其面積越大。

　以上兩條定理是等價(jià)的。

　（3）等體積的所有空間圖形當(dāng)中，越接近球體的幾何體，其表面積越小。

�。�4）等表面積的所有空間圖形當(dāng)中，越接近球體的幾何體，其體積越大。

　以上兩條定理是等價(jià)的。? 例：相同表面積的四面體,六面體,正十二面體及正二十面體,其中體積最大的是:

　A 四面體? B 六面體? C 正十二面體? D 正二十面體?

　析：顯然，正二十面體最接近球體，則體積最大。? 5.一個(gè)長方體形狀的盒子長、寬、高分別為 20 厘米、8 厘米和 2 厘米，現(xiàn)在要用一張紙將其六個(gè)面完全包裹起來，要求從紙上剪下的部分不得用作貼補(bǔ)，請問這張紙的大小可能是下列哪一個(gè)?（??? ）?

　A．長 25 厘米、寬 17 厘米??????????? B．長 26 厘米、寬 14 厘米

　C．長 24 厘米、寬 21 厘米?????????? ?D．長 24 厘米、寬 14 厘米?

　析：這種題型首先的思路應(yīng)該是，先算盒子的總面積=2*(20*8+20*2+8*2)=432，除了 C 其它都小于 432。

　七．比例問題、十字相乘法與濃度問題 1.十字相乘法?

　一個(gè)集合中的個(gè)體，只有 2 個(gè)不同的取值，部分個(gè)體取值為 A，剩余部分取值為 B。平均值為 C。求取值為 A 的個(gè)體與取值為 B 的個(gè)體的比例。假設(shè) A 有 X，B 有（1-X）。則 C 為 1。?

　得式子，A*X+B*(1-X)＝C*1?

　整理得 X=C-B / A-B?? 1-X=A-C / A-B?

　則有 X : (1-X)=C-B / A-C?

　計(jì)算過程寫為 X??????? A???????? ?C-B??????? ：? ＝? ???????C? 1-X??????B????????? A-C???????? (一般大的寫上面 A, 小的 B。)? 例：某體育訓(xùn)練中心，教練員中男占 90％，運(yùn)動(dòng)員中男占 80％，在教練員和運(yùn)動(dòng)員中男占 82％，教練員與運(yùn)動(dòng)員人數(shù)之比是?

　析：一個(gè)集合（教練員和運(yùn)動(dòng)員的男性），只有 2 個(gè)不同的取值，部分個(gè)體取值（90%）,剩余部分取值為 82%，平均值為 82%。?

　教練員

　 90%

　 2%

　 82%

　= 1:4?

　運(yùn)動(dòng)員

　 80%

　8%

　例：某班男生比女生人數(shù)多 80%，一次考試后，全班平均成級為 75 分，而女生的平均分比男生的平均分高 20% ，則此班女生的平均分是：?

　析：男生平均分 X，女生 1.2X?

　1.2X

　 75-X

　 1?

　75

　=?

　X

　1.2X-75

　1.8?

　得 X=70 女生為 84

　 2.濃度問題

　溶液的重量＝溶質(zhì)的重量+溶劑的重量

　濃度＝溶質(zhì)的質(zhì)量 / 溶液質(zhì)量

　濃度又稱為溶質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

　關(guān)于稀釋，加濃，配制。其中混合后的濃度為 P.

　稀釋，一溶液加水，相當(dāng)于 a 克 P1%的溶液，和 b 克 0%的溶液配制。

　P1

　 P

　a

　 P

　0

　 P1-P

　b

　加濃，相當(dāng)于 a 克 p1%的溶液，和 b 克 100%的溶液配制。

　P1

　P-100

　a?

　 P

　100

　 P1-P

　b 配制則是 a 克 P1%的溶液，和 b 克 P2%的溶液配制。

　可列以下十字相乘：

　P1??????? P-P2????? a?

　???? P

　P2??????? P1-P????? b? 注：有些題不用十字相乘法更簡單。

　? 例：有含鹽 15%的鹽水 20 千克，要使鹽水含鹽 20%,需加鹽多少千克？

　析：

　15

　80

　 20?

　 20

　100

　 5?

　b 80/5=20/b 得 b=1.25g? 例：從裝滿 100g 濃度為 80％的鹽水杯中倒出 40g 鹽水后再倒入清水將杯倒?jié)M，這樣反復(fù)三次后，杯中鹽水的濃度是（）

　A.17.28%??? B.28.8%????? C.11.52%??? D.48%?

　析：開始時(shí)，溶質(zhì)為 80 克。第一次倒出 40g，再加清水倒?jié)M，倒出了鹽 80*40%，此時(shí)還剩鹽 80*60%。同理，第二次，剩 80*60%*60%。第三次，乘 80*60%^3=17.28g，即濃度為 17.28%? 特例：有甲乙兩杯含鹽率不同的鹽水，甲杯鹽水重１２０克，乙杯鹽水重８０克．現(xiàn)在從兩杯倒出等量的鹽水，分別交換倒入兩杯中．這樣兩杯新鹽水的含鹽率相同．從每杯中倒出的鹽水是多少克？?

　析：設(shè)甲濃度 P1,乙濃度 P2。混合后的相等濃度為 P.拿出的等量的水為 a?

　則對于甲?

　P1

　P-P2

　 120-a?

　 P?

　P2

　P1-P

　a? 對于乙?

　 P2???????? P-P1????? 80-a?

　????? P??????????

　P1???????? P2-P????? a 則 120-a?????? a?

　??? ?:?????? =????? :?

　?? a???????????? 80-a?

　得 a=120*80 / 120+80? 一般地，對于質(zhì)量為 m1,m2 的溶液，也有 a=m1*m2/(m1+m2) 第四部分、數(shù)學(xué)運(yùn)算中 八．?dāng)?shù)、整除、余數(shù)與剩余定理

　 1.數(shù)的整除特性

　被 4 整除：末兩位是 4 的倍數(shù)，如 16,216,936…

　被 8 整除：末三位是 8 的倍數(shù)，如 144，2144，3152

　被 9 整除：每位數(shù)字相加是 9 的倍數(shù)，如，81，936，549

　被 11 整除：奇數(shù)位置上的數(shù)字和與偶數(shù)位置上的數(shù)字和之間的差是11 的倍數(shù)。??如，121，231，9295

　如果數(shù) A 被 C 整除，數(shù) B 被 C 整除，則，A+B 能被 C 整除 ; A*B也能被 C 整除 如果 A 能被 C 整除，A 能被 B 整除，BC 互質(zhì)，則 A 能被 B*C 整除。? ?例：有四個(gè)自然數(shù) A、B、C、D，它們的和不超過 400，并且 A 除以B 商是 5 余 5，A 除以 C 商是 6 余 6，A 除以 D 商是 7 余 7。那么，這四個(gè)自然數(shù)的和是：?

　析：A 除以 B 商是 5 余 5，B 的 5 倍是 5 的倍數(shù)，5 是 5 的倍數(shù)，則 A是 5 的倍數(shù)，同理 A 是 6 的倍數(shù)，A 是 7 的倍數(shù)，則 A 為最小公倍數(shù)，210，此題得解。?

　2.剩余定理

　原理用個(gè)例子解釋，一個(gè)數(shù)除以 3 余 2，那么，這個(gè)數(shù)加 3 再除以 3，余數(shù)還是 2.?

　一個(gè)數(shù)除以 5 余 3，除以 4 余 3，那么這個(gè)數(shù)加上 5 和 4 的公倍數(shù) 所得到的數(shù)，除 3 還是能得到這個(gè)結(jié)論。? 例：一個(gè)三位數(shù)除以 9 余 7，除以 5 余 2，除以 4 余 3，這樣的三位數(shù)共有（）?

　析：7 是最小的滿足條件的數(shù)。9，5，4 的最小公倍數(shù)為 180，則 187是第二個(gè)這樣的數(shù)，367，547，727，907 共 5 個(gè)三位數(shù)。?

　 例：有一個(gè)年級的同學(xué)，每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人，每5 人一排多 2 人，問這個(gè)年級至少有多少人？?

　析：題目轉(zhuǎn)化為，一個(gè)數(shù)除以 9 余 5,除以 7 余 1，除以 5 除 2。第一步，從最大的數(shù)開刀，先找出除以 9 余 5 的最小數(shù)，14。???? 第二步，找出滿足每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人的最小的數(shù)。14 除以7 不余 1；再試 14+9 這個(gè)數(shù)，23 除以 7 照樣不余 1；數(shù)取 14+9*4 時(shí)，50 除以 7 余 1，即滿足每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人的最小的數(shù)是，50；??? 第三步，找符合三個(gè)條件的。50 除以 5 不余 2，再來 50+63（9，7 的最小公倍數(shù)）＝123，除 5 仍不余 2；再來，50+126，不余 2；……當(dāng) 50+63*4 時(shí)，余 2，滿足 3 個(gè)條件，即至少有 302個(gè)人。?

　例：自然數(shù) P 滿足下列條件：P 除以 10 的余數(shù)為 9，P 除以 9 的余數(shù)

　為 8，P 除以 8 的余數(shù)為 7.如果 100<P<1000，則這樣的 P 有幾個(gè)？?

　析：此題可用剩余定理。但有更簡單的，

　P+1 是 10 的倍數(shù)

　P+1 是 9 的倍數(shù)

　P+1 是 8 的倍數(shù)

　1-1000 內(nèi)，10，9，8 的公倍數(shù)為，360,720，則 P 為 359,719。

　3.84*86＝？

　出現(xiàn)如 AB*AC=?，其中 B+C=10，計(jì)算結(jié)果為：百位數(shù)為 A(A+1)，十位/個(gè)位數(shù)為：B*C。注：如果 B*C 小于 10，用 0 補(bǔ)足。如：29*21,百位數(shù)為 2*3=6，個(gè)倍數(shù)為 1*9＝9，則結(jié)果為 609. 4.根號 3,3 次根號下 5，哪個(gè)��？ 這類題，關(guān)鍵是用一個(gè)大次的根號包住兩個(gè)數(shù)。一個(gè)是 2 次根號，一個(gè)是 3 次根號，則應(yīng)該用 6 次根號包住它們。根號 3，可以化成 6 次根號下 27；3 次根號下 5，可化為 6 次根號下 25,則根號 3 大于 3 次根號下 5. 九．等差數(shù)列?

　性質(zhì)：

�。�1）等差數(shù)列的平均值等于正中間的那個(gè)數(shù)（奇數(shù)個(gè)數(shù)或者正中間那兩個(gè)數(shù)的平均值（偶數(shù)個(gè)數(shù)）

　（2）任意角標(biāo)差值相等的兩個(gè)數(shù)之差都相等，即

　A(n+i)-An=A(m+i)-Am

　例：｛an｝是一個(gè)等差數(shù)列，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，則數(shù)列前 13 項(xiàng)之和是：

　A3-a10=A4-A11=-4

　這道題應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)可以簡單求解。

　因此 A7=8+4=12，而這 13 個(gè)數(shù)的平均值又恰好為正中間的數(shù)字 a7，因此這 13 個(gè)數(shù)的和為? 12×13=156

　十．抽屜問題

　解這類題的關(guān)鍵是，找出所有的可能性，然后用最不利的情況分析。

　例：一個(gè)布袋中由 35 個(gè)同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有 10 個(gè)，另外還有 3 個(gè)藍(lán)色球、2 個(gè)綠色球，試問一次至少取出多少個(gè)球,才能保證取出的球中至少有 4 個(gè)是同一顏色的球？

　析：最不利的情況是，取出 3 個(gè)藍(lán)色球，又取了 2 個(gè)綠色球，白、黃、紅各取 3 個(gè)，這個(gè)時(shí)候再取一個(gè)就有 4 個(gè)是同一顏色的球了。即取：3+2+3*3+1＝15 個(gè)球。

　例：從 1、2、3、4……、12 這 12 個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)，就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù)，他們的差是 7？?? ?重點(diǎn)??

　析:考慮到這 12 個(gè)自然數(shù)中，滿足差為 7 的組合有，(12，5)，（11，4），（10，3），（9，2），（8，1），共五種，還有 6,7 兩個(gè)數(shù)沒有出現(xiàn)過，則最不幸的情況就是，（12，5）等都取了一個(gè)，即五個(gè)抽屜取了五個(gè)，還有 6,7 各取一個(gè)，再取一個(gè)就有兩個(gè)數(shù)差為 7 了，則取了5+2+1=8 個(gè)。

　例：學(xué)校開辦了語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)三個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)（可以不參加）。問：至少有多少名學(xué)生，才能保證有不少于 5 名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況完全相同

　析：不同的情況有，都不參加、參加語文、參加數(shù)學(xué)、參加美術(shù)、參加語文和數(shù)學(xué)、參加語文和美術(shù)、參加數(shù)學(xué)和美術(shù)，最不幸的情況是，4 組人都參加了這 7 項(xiàng)，共 28 項(xiàng)，這樣，再加入 1 人，即 29 人時(shí)，滿足題意。

　十一.函數(shù)問題

　這種題型，土方法就是找一個(gè)簡單的數(shù)代入。

　X^3+Y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

　1.???? 求值

　例：已知 f(x)=x^2+ax+3,若 f(2+x)=f(2-x)，則 f(2)是多少？

　析：既然 f(2+x)=f(2-x)，當(dāng) x=2 時(shí)，方程成立，即 f(4)=f(0)，求得 a=-4，得解。

　例：f（x*y）=f(x)*f(y)；f(1)=0,求 f(2008)=?

　析：f(2008*1)=f(2008)*f(1)=0

　例：f(x+1)= -1/f(x),f(2)=2007.f(2007)=?

　析：f(3)=-1/f(2)=-1/2007，f(4)=-1/-1/2007=2007，f(5)=-1/2007，則 f(2007)=-1/2007

　例：f(2x-1)=4*X^2-2x,求 f(x)

　析：設(shè) 2x-1=u，則 x=u+1 / 2，則 f(u)=4* ((u+1)/2)^2-2*(u+1)/2 =u^2+u 所以 f(x)=x^2+x 2.求極值

　例：某企業(yè)的凈利潤 y(單位：10 萬元）與產(chǎn)量 x(單位：100 萬件)之間的關(guān)系為 y=-x^2+4*x+1，問該企業(yè)的凈利潤的最大值是多少萬元？（

�。�

　A． 10

　B．20

　C．30

　D．50

　析：y=-(x-2)^2+5，則 y 最大值為 5。凈利潤為 50 萬元�？梢耘浞降�。

　 例：某企業(yè)的凈利潤 y(單位：10 萬元）與產(chǎn)量 x(單位：100 萬件)之間的關(guān)系為 y=-1/3x^3+x^2+11/3，問該企業(yè)的凈利潤的最大值是多少萬元？（? ）

　A 5? B 50 C 60 D70

　析：這道題要求導(dǎo)，公式忘光了， y=-1/3*3*x^2+2*x+0=0，解得 x=2，則代入 y 得 5。求導(dǎo)公式好像是-1/3x^3=3*(-1/3)*x^2，常數(shù)為 0。不能配方的，極值試求導(dǎo)，不會(huì)做只能放棄。

　十二、比賽問題 1. 100 名男女運(yùn)動(dòng)員參加乒乓球單打淘汰賽，要產(chǎn)生男女冠軍各一名，則要安排單打賽多少場？( )

　【解析】在此完全不必考慮男女運(yùn)動(dòng)員各自的人數(shù)，只需考慮把除男女冠軍以外的人淘汰掉就可以了，因此比賽場次是 100-2＝98(場)。

　2. 某機(jī)關(guān)打算在系統(tǒng)內(nèi)舉辦籃球比賽，采用單循環(huán)賽制，根據(jù)時(shí)間安排，只能進(jìn)行 21 場比賽，請問最多能有幾個(gè)代表隊(duì)參賽？( )

　【解析】根據(jù)公式，采用單循環(huán)賽的比賽場次＝參賽選手?jǐn)?shù)×（參賽選手?jǐn)?shù)-1)/2，因此在 21 場比賽的限制下，參賽代表隊(duì)最多只能是 7隊(duì)。

　3. 某次比賽共有 32 名選手參加，先被平均分成 8 組，以單循環(huán)的方式進(jìn)行小組賽；每組前 2 名隊(duì)員再進(jìn)行淘汰賽，直到?jīng)Q出冠軍。請問，共需安排幾場比賽？( )

　【解析】

　根據(jù)公式，第一階段中，32 人被平均分成 8 組，每組 4 個(gè)人，則每組單循環(huán)賽產(chǎn)生前 2 名需要進(jìn)行的比賽場次是：4×（4-1)÷2＝6(場)，8 組共 48 場；第二階段中，有 2×8＝16 人進(jìn)行淘汰賽，決出冠軍，則需要比賽的場次就是：參賽選手的人數(shù)-1，即 15 場。最后，總的比賽場次是 48＋15＝63(場)。

　4. 某學(xué)校承辦系統(tǒng)籃球比賽，有 12 個(gè)隊(duì)報(bào)名參加，比賽采用混合制，即第一階段采用分 2 組進(jìn)行單循環(huán)比賽，每組前 3 名進(jìn)入第二階段；第二階段采用淘汰賽，決出前三名。如果一天只能進(jìn)行 2 場比賽，每6 場需要休息一天，請問全部比賽共需幾天才能完成？( )

　【解析】

　根據(jù)公式，第一階段 12 個(gè)隊(duì)分成 2 組，每組 6 個(gè)人，則每組單循環(huán)賽產(chǎn)生前 2 名需要進(jìn)行的比賽場次是：6×（6-1)÷2＝15(場)，2 組共 30 場；第二階段中，有 2×3＝6 人進(jìn)行淘汰賽，決出前三名，則需要比賽的場次就是：參賽選手的人數(shù)，即 6 場，最后，總的比賽場次是 30＋6＝36(場)。

　又，“一天只能進(jìn)行 2 場比賽”，則 36 場需

　要 18 天；“每 6 場需要休息一天”，則 36 場需要休息 36÷6-1＝5(天)，所以全部比賽完成共需 18＋5＝23(天)。

　比賽賽制

　在正規(guī)的大型賽事中，我們經(jīng)常聽到淘汰賽或者循環(huán)賽的提法，實(shí)際上這是兩種不同的賽制，選手們需要根據(jù)事前確定的賽制規(guī)則進(jìn)行比賽。我們先談?wù)剝烧叩母拍詈蛥^(qū)別。

　1. 循環(huán)賽：就是參加比賽的各隊(duì)之間，輪流進(jìn)行比賽，做到隊(duì)隊(duì)見面相遇，根據(jù)各隊(duì)勝負(fù)的場次積分多少?zèng)Q定名次。

　循環(huán)賽包括單循環(huán)和雙循環(huán)。

　單循環(huán)是所有參加比賽的隊(duì)均能相遇一次，最后按各隊(duì)在全部比賽中的積分、得失分率排列名次。如果參賽選手?jǐn)?shù)目不多，而且時(shí)間和場地都有保證，通常都采用這種競賽方法。

　單循環(huán)比賽場次計(jì)算的公式為：

　由于單循環(huán)賽是任意兩個(gè)隊(duì)之間的一場比賽，實(shí)際上是一個(gè)組合題目，就是 C(參賽選手?jǐn)?shù)，2)，即：單循環(huán)賽比賽場次數(shù)＝參賽選手?jǐn)?shù)×（參賽選手?jǐn)?shù)-1 )/2

　 ? 雙循環(huán)是所有參加比賽的隊(duì)均能相遇兩次，最后按各隊(duì)在兩個(gè)循環(huán)的全部比賽中的積分、得失分率排列名次。如果參賽選手?jǐn)?shù)目少，或者打算創(chuàng)造更多的比賽機(jī)會(huì)，通常采用雙循環(huán)的比賽方法。

　雙循環(huán)比賽場次計(jì)算的公式為：由于雙循環(huán)賽是任意兩隊(duì)之間比賽兩次，因此比賽總場數(shù)是單循環(huán)賽的 2 倍，即：雙循環(huán)賽比賽場次數(shù)＝參賽選手?jǐn)?shù)×（參賽選手?jǐn)?shù)-1 )

　2. 淘汰賽：就是所有參加比賽的隊(duì)...

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