二戰(zhàn)后，由于計(jì)算機(jī)等相關(guān)高科技的發(fā)展與進(jìn)步，數(shù)學(xué)的發(fā)展在全世界的范圍被越來(lái)越重視。而且數(shù)學(xué)被越來(lái)越看作技術(shù)，而不僅僅是一門(mén)學(xué)科而已。數(shù)學(xué)與關(guān)鍵部門(mén)（哪些關(guān)系到國(guó)計(jì)民生的重要部門(mén)，如國(guó)防、軍事、航天、航空、石油、半導(dǎo)體、生存庫(kù)存……）的關(guān)系日益密切，數(shù)學(xué)技術(shù)的發(fā)展直接影響著這些部門(mén)的發(fā)展與力量。建立數(shù)學(xué)模型并在數(shù)模的基礎(chǔ)的計(jì)算成了中心的環(huán)節(jié)——即由數(shù)學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力的中心環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)模型正是一種將理論與應(yīng)用相結(jié)合的典范，這非常有利于我們更好的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)。

　　不僅在一些大的生產(chǎn)、要害部門(mén)，數(shù)學(xué)的地位日隆，就是我們的日常生活中也不是數(shù)學(xué)技術(shù)的進(jìn)步給我們帶來(lái)的便利。比如IP電話的使用，其中的要害技術(shù)——數(shù)據(jù)的壓縮與解讀問(wèn)題；
再如抽水馬桶的設(shè)計(jì)——如何讓其沖水音量小而又能沖得干凈卻是通過(guò)數(shù)學(xué)的計(jì)算與應(yīng)用而實(shí)現(xiàn)的。盡管數(shù)學(xué)可以說(shuō)是無(wú)處不在，但“什么是數(shù)學(xué)”或“數(shù)學(xué)是什么”的問(wèn)題卻一直沒(méi)有個(gè)能被普遍認(rèn)同的答案。美國(guó)或前蘇聯(lián)的一些極有影響的數(shù)學(xué)家在討論或著書(shū) 說(shuō)討論“什么是數(shù)學(xué)”的問(wèn)題時(shí)，一般的做法也只是把數(shù)學(xué)學(xué)科的各部門(mén)構(gòu)成進(jìn)行羅列，敘述一番，如算術(shù)、幾何、方程、數(shù)論、微積與理論等等。而唯物主義者恩格斯則認(rèn)為：數(shù)學(xué)就是研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的學(xué)問(wèn)，哈代（Hardy）則更傾向于認(rèn)為數(shù)學(xué)只是一門(mén)藝術(shù)，與琴棋書(shū)畫(huà)一般，跟外界事物沒(méi)有多少聯(lián)系。Hopper則認(rèn)為數(shù)學(xué)就是替我們解決問(wèn)題的好方法。真是各種各樣，難衷一是。而關(guān)于這問(wèn)題的討論早就有了，就在二十世紀(jì)的大討論中，圍繞“數(shù)學(xué)是否真理”的問(wèn)題展開(kāi)大討論，基本上形成了三個(gè)流派：

　　一是以羅素、懷特海為代表的邏輯主義學(xué)派，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是邏輯的一部分，而邏輯是真理，數(shù)學(xué)自然就是真理。真理是具有包容性的。邏輯的真理除了反映客觀世界規(guī)律的哪部分外，還包括通過(guò)推理演出來(lái)的“理性其理”。數(shù)學(xué)同樣具有這樣的特性。這樣一種態(tài)度與觀點(diǎn)在邏輯學(xué)界和數(shù)學(xué)界都同樣具有很重要的影響力。

　　第二學(xué)派是以布勞維爾為代表的直覺(jué)主義學(xué)派。說(shuō)學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)的真理唯一來(lái)源便是人的直覺(jué)，看其是否可以接受，它既不取決于經(jīng)驗(yàn)，也非來(lái)自理性，而是人的直覺(jué)。經(jīng)驗(yàn)是有功用的，理性也是能起作用的，但那只起到使人的直覺(jué)覺(jué)醒的作用，閃念的迸發(fā)。帕斯卡也說(shuō)：心有其理，非理之所能知。而推理是愚蠢的人因?yàn)闆](méi)有通過(guò)直覺(jué)獲得真理，只好通過(guò)推理去發(fā)現(xiàn)真理。他們的觀點(diǎn)很大程度上受康德主義的影響�？档轮髁x認(rèn)為，外物永遠(yuǎn)是外物，只是人的認(rèn)識(shí)與心智在變化，這種直覺(jué)主義主為人不可能獲得真理，真理是不可能存在的。

　　第三個(gè)流派是以希爾伯特爾為代表的形式主義。這正是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的主流流派，影響極為深刻。這一學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)的各體系各自獨(dú)立，相容而且完備，盡力的發(fā)展每一部分便是數(shù)學(xué)之任務(wù)；
不用管客觀世界的問(wèn)題，數(shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)，與外界無(wú)涉，另外還認(rèn)為在一般數(shù)學(xué)之上還有一個(gè)總的之?dāng)?shù)學(xué)(Meta-mathematics )的存在。

　　這三大學(xué)派的觀點(diǎn)很具代表性，可以說(shuō)占主流的地位，但一直以來(lái)也同樣受著眾多的挑戰(zhàn)與趨向，先看看邏輯主義學(xué)派，羅素本人在1937年《數(shù)學(xué)原理》再版時(shí)已經(jīng)認(rèn)為邏輯并非全是真理，所以數(shù)學(xué)也并非全是真理。在其晚年，羅素走得更遠(yuǎn)了，對(duì)數(shù)學(xué)非確定性的思考成了他思想的主題，盡管他的數(shù)理邏輯貢獻(xiàn)功不可沒(méi)。至于直覺(jué)主義，它否定“實(shí)無(wú)窮”，即所有的東西都是在一起的，實(shí)在的并且是完成的；
肯定潛無(wú)窮，即推理的、發(fā)展的、未完成的無(wú)窮，對(duì)于構(gòu)造性數(shù)學(xué)，每一步都是有限的，從n, n+1, n+2, ……直至推進(jìn)的無(wú)窮。對(duì)“選擇公理”，羅素舉了例子說(shuō)：若有無(wú)窮雙鞋子，那么命題“取出左腳”是可以成立的，但若是所有無(wú)窮雙襪子就存在問(wèn)題。直覺(jué)主義對(duì)襪子的編號(hào)解答也不滿意，認(rèn)為人不可以對(duì)潛在襪子進(jìn)行編號(hào)。而形式主義，則一直交著各方面的理論壓力，甚至挑戰(zhàn)。哥德?tīng)柕膬蓚�(gè)定理基本葬送了希爾伯特關(guān)于真理獨(dú)立完備等觀念。即公理學(xué)說(shuō)的相容性問(wèn)題是無(wú)法證明的。愛(ài)因斯坦曾稱譽(yù)哥德?tīng)柺恰皝喞锸慷嗟乱詠?lái)對(duì)邏輯做過(guò)最大貢獻(xiàn)的人”。對(duì)邏輯的否定還得通過(guò)邏輯的形式，但不可以從邏輯上進(jìn)行正誤判斷，因?yàn)榻^對(duì)真理本就不存在。科萊茵《數(shù)學(xué)學(xué)科確立性的消失》是對(duì)形式主義的系統(tǒng)批判。

　　除了數(shù)學(xué)確立性問(wèn)題外，數(shù)學(xué)還有個(gè)應(yīng)用性問(wèn)題。我們提倡數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，但并不排斥純數(shù)學(xué)，追求精神高雅的同時(shí)引出有用的東西。起源于古希臘的數(shù)學(xué)四門(mén)包括算術(shù)、幾何、天文、音樂(lè)，可算是綜合的學(xué)科，而像歐幾里德，阿基米德等大家都是綜合性大家�，F(xiàn)在數(shù)學(xué)里更有系統(tǒng)論、信息論、控制論等等。過(guò)分形式主義是歷史形成的，但我們不能只重形式，更要關(guān)注內(nèi)容。在數(shù)學(xué)創(chuàng)造領(lǐng)域，既要有真理取向，也要有美學(xué)取向，實(shí)用取向等。鑒別與選擇有直覺(jué)的作用，但別忘記靈感是來(lái)源于積累。

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