開場白：今晚講的不是數(shù)學(xué)本身的內(nèi)容，而是一些關(guān)于數(shù)學(xué)的問題，可算作一種數(shù)學(xué)評論�！瓣P(guān)于數(shù)學(xué)”的問題，劍橋分析學(xué)派的泰斗，數(shù)學(xué)家哈代（Hardy）嘗言：當(dāng)一個數(shù)學(xué)家開始離開數(shù)學(xué)研究而開始談?wù)撽P(guān)于數(shù)學(xué)的問題的時，憂傷之情便油然而生了。哈代認(rèn)為數(shù)學(xué)評論“可算是二等水平的學(xué)問”，就像文學(xué)評論，畫的評論之于文學(xué)，畫的藝術(shù)一般；
而數(shù)學(xué)作為一門藝術(shù)而存在，沒有任何功用，歷史上沒有任何火藥味的東西是由數(shù)論或壘素發(fā)明出來的。哈代這一段1940年左右說的話很快被1945年美國投放在日本的原子彈所否定，因?yàn)樵�子彈的制造與數(shù)論、相對論至關(guān)密切，而數(shù)學(xué)之功用更是勿庸多言。所以如何看待數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不是那么可有可無的二等工作的問題。

　　有一件事情可以很好的表現(xiàn)一種對數(shù)學(xué)的態(tài)度，那便是“數(shù)學(xué)建模競賽”，這于1985年開始的數(shù)學(xué)建模國際比賽是很盛大的賽事，意義重大。

　　MCM (mathematics competition in codeling, 1987年后，將competition 改為contest)，數(shù)學(xué)建模競賽在美國舉行，現(xiàn)在已有9個國家四百多支隊(duì)伍參加，我校的參賽隊(duì)也取得了不錯的成績。數(shù)學(xué)建模競賽前，美國已存在著數(shù)學(xué)競賽，稱為普特南競賽，始于1938年，由MAA（Mathematics Association of America）主辦，實(shí)際發(fā)端于1931年，關(guān)于比賽事，有一段佳話：西點(diǎn)軍校與哈佛大學(xué)舉行學(xué)生足球比賽，上半場西點(diǎn)軍校領(lǐng)先，哈佛校長，路易斯老臉難掛，便在中場休息時找到西點(diǎn)校長說：“要是比賽數(shù)學(xué)，你們的學(xué)生可能就要輸了�！蔽鼽c(diǎn)校長當(dāng)然不服，當(dāng)即便允下次年舉行數(shù)學(xué)比賽。路易斯的親戚普特南給予了經(jīng)濟(jì)上的支持。可是1932年的比賽中，哈佛仍然未有勝出。

　　MCM的比賽方式一般是由非婁學(xué)部門提出問題，一般沒有既定答案，要求提出數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行分析，作出解答。一般分為兩組題，A組多涉及連續(xù)數(shù)學(xué)，B組多涉及離散數(shù)學(xué)。以1999年的試題為例：A組的大意是直徑1公里的星體撞擊南極點(diǎn)，建立模型分析以下問題：傷亡估計，影響波及地區(qū)、冰塊融化浸占地表面積等等。而B組問題的大意是要設(shè)計某室內(nèi)場合的最大合法人數(shù)，考慮到地震、火災(zāi)等意外，設(shè)計餐館、電梯、足球場等地的合適人數(shù)，并與實(shí)際進(jìn)行比較并寫文章到報紙上發(fā)表，還要求考慮由像餐館的桌椅是否可以移動、酒巴擁擠得程序而帶來的差異。另外，從1999年始還有了C組問題，多是跨學(xué)科的問題：A問，在油罐的存地可能存在污染，今有十個地下井觀測點(diǎn)，多年的數(shù)據(jù)，要求對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分析當(dāng)?shù)匚廴厩闆r。B問，設(shè)計一種測量模型辦法，使其測量結(jié)果準(zhǔn)確，有效。2000年C組問題獨(dú)立出現(xiàn)，同時舉行，名為ＩCＭ，即跨學(xué)科模型競賽。參賽方式：一般由３人組隊(duì)，一個老師指導(dǎo)，時間為兩天半，指導(dǎo)老師在開始時可幫忙選題，然后離開，比賽過程中，除與活人討論外，可以用任何方式進(jìn)行解答。答卷要求用英語，由以下幾部分組成：

　　①重述題目

　　②依據(jù)的基本數(shù)學(xué)假設(shè)是什么，怎么得來的？

　�、奂僭O(shè)分析

　�、芮逦�的模型表述

　�、菽Ｐ偷臏y試

　�、弈Ｐ偷慕獯�

　�、邇�(yōu)缺點(diǎn)的討論

　　另外還需要不超過一頁的摘要，也很重要。

　　所有完整的參賽作品都將被重視分為四個級別：成功參賽者、值得表揚(yáng)的、良好的、優(yōu)秀的。中國1988年開始參賽，當(dāng)時北大、清華、理工大學(xué)參加、北大當(dāng)年即獲一個“良好的”級別獎。

　　現(xiàn)在國內(nèi)也有此類比賽，基本模仿美國的做法，發(fā)展較快。

　　這種比賽時間長，需要精力足，有毅力，合作精神等。應(yīng)該對此給予足夠的重視。這不僅僅是一場數(shù)學(xué)賽，更是一場對自身的鍛煉與挑戰(zhàn)。這一模型比賽突破了在數(shù)學(xué)教學(xué)界上主異地位的形式主義思維數(shù)學(xué)。將數(shù)學(xué)與實(shí)際應(yīng)用密切結(jié)合，很好的推動著數(shù)學(xué)的發(fā)展，以及對數(shù)學(xué)的更新全面的看法。

　　數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)文化慢談（下）

　　數(shù)學(xué)學(xué)院，雷功炎教授，2000年10月18日晚7：00 理1#1114

　　 二戰(zhàn)后，由于計算機(jī)等相關(guān)高科技的發(fā)展與進(jìn)步，數(shù)學(xué)的發(fā)展在全世界的范圍被越來越重視。而且數(shù)學(xué)被越來越看作技術(shù)，而不僅僅是一門學(xué)科而已。數(shù)學(xué)與關(guān)鍵部門（哪些關(guān)系到國計民生的重要部門，如國防、軍事、航天、航空、石油、半導(dǎo)體、生存庫存……）的關(guān)系日益密切，數(shù)學(xué)技術(shù)的發(fā)展直接影響著這些部門的發(fā)展與力量。建立數(shù)學(xué)模型并在數(shù)模的基礎(chǔ)的計算成了中心的環(huán)節(jié)——即由數(shù)學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力的中心環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)模型正是一種將理論與應(yīng)用相結(jié)合的典范，這非常有利于我們更好的認(rèn)識數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)。

　　不僅在一些大的生產(chǎn)、要害部門，數(shù)學(xué)的地位日隆，就是我們的日常生活中也不是數(shù)學(xué)技術(shù)的進(jìn)步給我們帶來的便利。比如IP電話的使用，其中的要害技術(shù)——數(shù)據(jù)的壓縮與解讀問題；
再如抽水馬桶的設(shè)計——如何讓其沖水音量小而又能沖得干凈卻是通過數(shù)學(xué)的計算與應(yīng)用而實(shí)現(xiàn)的。盡管數(shù)學(xué)可以說是無處不在，但“什么是數(shù)學(xué)”或“數(shù)學(xué)是什么”的問題卻一直沒有個能被普遍認(rèn)同的答案。美國或前蘇聯(lián)的一些極有影響的數(shù)學(xué)家在討論或著書 說討論“什么是數(shù)學(xué)”的問題時，一般的做法也只是把數(shù)學(xué)學(xué)科的各部門構(gòu)成進(jìn)行羅列，敘述一番，如算術(shù)、幾何、方程、數(shù)論、微積與理論等等。而唯物主義者恩格斯則認(rèn)為：數(shù)學(xué)就是研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的學(xué)問，哈代（Hardy）則更傾向于認(rèn)為數(shù)學(xué)只是一門藝術(shù)，與琴棋書畫一般，跟外界事物沒有多少聯(lián)系。Hopper則認(rèn)為數(shù)學(xué)就是替我們解決問題的好方法。真是各種各樣，難衷一是。而關(guān)于這問題的討論早就有了，就在二十世紀(jì)的大討論中，圍繞“數(shù)學(xué)是否真理”的問題展開大討論，基本上形成了三個流派：

　　一是以羅素、懷特海為代表的邏輯主義學(xué)派，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是邏輯的一部分，而邏輯是真理，數(shù)學(xué)自然就是真理。真理是具有包容性的。邏輯的真理除了反映客觀世界規(guī)律的哪部分外，還包括通過推理演出來的“理性其理”。數(shù)學(xué)同樣具有這樣的特性。這樣一種態(tài)度與觀點(diǎn)在邏輯學(xué)界和數(shù)學(xué)界都同樣具有很重要的影響力。

　　第二學(xué)派是以布勞維爾為代表的直覺主義學(xué)派。說學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)的真理唯一來源便是人的直覺，看其是否可以接受，它既不取決于經(jīng)驗(yàn)，也非來自理性，而是人的直覺。經(jīng)驗(yàn)是有功用的，理性也是能起作用的，但那只起到使人的直覺覺醒的作用，閃念的迸發(fā)。帕斯卡也說：心有其理，非理之所能知。而推理是愚蠢的人因?yàn)闆]有通過直覺獲得真理，只好通過推理去發(fā)現(xiàn)真理。他們的觀點(diǎn)很大程度上受康德主義的影響。康德主義認(rèn)為，外物永遠(yuǎn)是外物，只是人的認(rèn)識與心智在變化，這種直覺主義主為人不可能獲得真理，真理是不可能存在的。

　　第三個流派是以希爾伯特爾為代表的形式主義。這正是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的主流流派，影響極為深刻。這一學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)的各體系各自獨(dú)立，相容而且完備，盡力的發(fā)展每一部分便是數(shù)學(xué)之任務(wù)；
不用管客觀世界的問題，數(shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)，與外界無涉，另外還認(rèn)為在一般數(shù)學(xué)之上還有一個總的之?dāng)?shù)學(xué)(Meta-mathematics )的存在。

　　這三大學(xué)派的觀點(diǎn)很具代表性，可以說占主流的地位，但一直以來也同樣受著眾多的挑戰(zhàn)與趨向，先看看邏輯主義學(xué)派，羅素本人在1937年《數(shù)學(xué)原理》再版時已經(jīng)認(rèn)為邏輯并非全是真理，所以數(shù)學(xué)也并非全是真理。在其晚年，羅素走得更遠(yuǎn)了，對數(shù)學(xué)非確定性的思考成了他思想的主題，盡管他的數(shù)理邏輯貢獻(xiàn)功不可沒。至于直覺主義，它否定“實(shí)無窮”，即所有的東西都是在一起的，實(shí)在的并且是完成的；
肯定潛無窮，即推理的、發(fā)展的、未完成的無窮，對于構(gòu)造性數(shù)學(xué)，每一步都是有限的，從n, n+1, n+2, ……直至推進(jìn)的無窮。對“選擇公理”，羅素舉了例子說：若有無窮雙鞋子，那么命題“取出左腳”是可以成立的，但若是所有無窮雙襪子就存在問題。直覺主義對襪子的編號解答也不滿意，認(rèn)為人不可以對潛在襪子進(jìn)行編號。而形式主義，則一直交著各方面的理論壓力，甚至挑戰(zhàn)。哥德爾的兩個定理基本葬送了希爾伯特關(guān)于真理獨(dú)立完備等觀念。即公理學(xué)說的相容性問題是無法證明的。愛因斯坦曾稱譽(yù)哥德爾是“亞里士多德以來對邏輯做過最大貢獻(xiàn)的人”。對邏輯的否定還得通過邏輯的形式，但不可以從邏輯上進(jìn)行正誤判斷，因?yàn)榻^對真理本就不存在。科萊茵《數(shù)學(xué)學(xué)科確立性的消失》是對形式主義的系統(tǒng)批判。

　　除了數(shù)學(xué)確立性問題外，數(shù)學(xué)還有個應(yīng)用性問題。我們提倡數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，但并不排斥純數(shù)學(xué)，追求精神高雅的同時引出有用的東西。起源于古希臘的數(shù)學(xué)四門包括算術(shù)、幾何、天文、音樂，可算是綜合的學(xué)科，而像歐幾里德，阿基米德等大家都是綜合性大家�，F(xiàn)在數(shù)學(xué)里更有系統(tǒng)論、信息論、控制論等等。過分形式主義是歷史形成的，但我們不能只重形式，更要關(guān)注內(nèi)容。在數(shù)學(xué)創(chuàng)造領(lǐng)域，既要有真理取向，也要有美學(xué)取向，實(shí)用取向等。鑒別與選擇有直覺的作用，但別忘記靈感是來源于積累。

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