資料會員群、更多考試資料請?zhí)砑游⑿?賬號：mao1103mao 2020 系統(tǒng)提分班 數(shù)量關系 王任飛 2019/07/23 華圖在線 APP 關注新浪微博 隨時來刷題 獲取最新資訊

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　資料會員群、更多考試資料請?zhí)砑游⑿?賬號：mao1103mao 【助教筆記】【作業(yè) 1】（2019 聯(lián)考）幼兒園老師設計了一個摸彩球游戲，在一個不透明的 盒子里混放著紅、黃兩種顏色的小球，它們除了顏色不同，形狀、大小均一致。已知隨機摸 取一個小球，摸到紅球的概率為三分之一。如果從中先取出 3 紅 7 黃共 10 個小球，再隨機 摸取一個小球，此時摸到紅球的概率變?yōu)槲宸种�二，那么原來盒中共有紅球多少個? A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】A 【解析】

　第一步，本題考查概率問題，用方程法解題。

　第二步，設原來盒中有 x 個紅球，那么原來盒中的總球數(shù)為 3x，則原來盒中黃球數(shù)為 2x。

　取出 3 個紅球和 7 個黃球后，盒中還剩（x－3）個紅球和（2x－7）個黃球，共計（3x－10）

　個球，根據(jù)此時摸到紅球的概率為，可列方程（x－3）÷（3x－10）=2/5：，解得 x=5，即 原來盒中有 5 個紅球。

　因此，選擇 A 選項。

　【助教筆記】【作業(yè) 2】【答案】C 【解析】

　第一步，本題考查幾何問題，屬于平面幾何類，用代入排除法解題。

　第二步，由題意知，△ADE 與△ABC 相似，且 AD：AB=1：3，根據(jù)幾何比例關系，S△ADE：

　S△ABC=1：9。代入 A 選項，1：（1+3+3）=1：7≠1：9，排除；代入 B 選項，1：（1+3+4）

　=1：8≠1：9，排除；代入 C 選項，1：（1+4+4）=1：9，滿足；代入 D 選項，1：（1+4+5）

　=1：10≠1：9，排除。

　因此，選擇 C 選項。

　第八章容斥原理 1.本質(zhì)：找到并去除重復的過程； 2.分類：兩集合、三集合； 3.解題方法：①公式法；②畫圖法。

　4.兩集合容斥原理 （1）核心公式：滿足條件 1 的個數(shù)+滿足條件 2 的個數(shù)－兩者都滿足的個數(shù)＝總個數(shù)－兩 者都不滿足的個數(shù)； （2）圖示法的標志：題目中出現(xiàn)“只”滿足一個條件，不能用公式法，只能用圖示法。

　5.三集合容斥原理 （1）標準型核心公式：

　滿足條件 1 的個數(shù)+滿足條件 2 的個數(shù)+滿足條件 3 的個數(shù)－滿足兩個條件的個數(shù)+三者都滿 足的個數(shù)=總個數(shù)－三者都不滿足的個數(shù)； （2）非標準型核心公式：

　滿足條件 1 的個數(shù)+滿足條件 2 的個數(shù)+滿足條件 3 的個數(shù)－“只”滿足兩個條件的個數(shù)－2 ×三者都滿足的個數(shù)=總個數(shù)－三者都不滿足的個數(shù)。

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　資料會員群、更多考試資料請?zhí)砑游⑿?賬號：mao1103mao （3）三集合補充公式：

　只滿足 1 個條件的個數(shù)+只滿足 2 個條件的個數(shù)+三者都滿足的個數(shù)+三者都不滿足的個數(shù)＝ 總個數(shù)。

　【助教筆記 1】【例 1】【答案】A 【解析】

　第一步，本題考查容斥問題，屬于二集合容斥類。

　第二步，設同時種植柚子樹和橘子樹的果農(nóng)有 x 戶，根據(jù)二集合容斥公式，可得 32－5=26+24 －x，解得 x=23。

　因此，選擇 A 選項。

　【助教筆記 2】【例 2】【答案】A 【解析】

　第一步，本題考查容斥原理，屬于二集合容斥類，用公式法解題。

　第二步，由至少參加過一個比賽可知，沒有兩個競賽都不參加的人。參加過國家級競賽的人

　數(shù)為 240×

　 =140（人）；參加過兩個級別競賽的人數(shù)為 240×

　=60（人）。

　第三步，設參加過省級競賽的 x 人，根據(jù)二集合容斥原理：240=140+x－60+0，解得 x=160。

　因此，選擇 A 選項。

　【助教筆記 3】【例 3】【答案】B 【解析】

　第一步，本題考查容斥問題，屬于二集合容斥類。

　第二步，拿到蘋果的人數(shù)+拿到梨的人數(shù)－總?cè)藬?shù)=兩種水果都拿到的人數(shù)，代入數(shù)據(jù)可得 9+8－13=4，有 4 人拿到兩種水果，只拿到蘋果的有 9－4=5（人）。

　因此，選擇 B 選項。

　【助教筆記 4】【例 4】【答案】A 【解析】

　第一步，本題考查容斥原理，屬于三集合容斥類，用公式法解題。

　第二步，設不喜歡任何一個景點的有 x 人，根據(jù)三集合標準型容斥公式，得出 100=28+30+42 －8－10－5+3+x，解得 x=20。

　因此，選擇 A 選項。

　【助教筆記 5】【例 5】【答案】D 【解析】

　第一步，本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類。

　第二步，根據(jù)三集合容斥類問題非標準型公式：總數(shù)=A+B+C－滿足兩種情況的－2×滿足 三種條件，可知回收的問卷數(shù)=180+200+100－20－2×50=360（份）。

　第三步，根據(jù)問卷回收率為 90%，則發(fā)放的問卷數(shù)應該是 360÷90%=400（份）。

　因此，選擇 D 選項。

　【助教筆記 6】【例 6】【答案】C 【解析】

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　資料會員群、更多考試資料請?zhí)砑游⑿?賬號：mao1103mao 第一步，本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類。

　第二步，設只參加兩個項目的人數(shù)為 x，根據(jù)三集合非標準型公式，可得 72=26+32+38－x －2×4，解得 x=16。則僅參加一個項目的員工有 72－16－4=52（人）。

　因此，選擇 C 選項。

　第九章最值問題 1.最不利構造 題型標志：至少„„保證„„。

　解題方法：①構造最不利情形；②正確答案＝最不利情況＋1。

　2.數(shù)列構造 題型本質(zhì)：已知多項和，求某一項的最值。

　題型標志：最多的最少、最多的最多；最少的最少、最少的最多；排名第幾的最多（少）。

　解題方法：構造法：①設未知數(shù)；②構造所有數(shù)據(jù)；③列方程。

　3.多集合反向構造 題型標志：都„„至少„„；至少„„都„„。

　解題方法：反向——求和——做差。

　【助教筆記 7】【例 1】【答案】D 【解析】

　第一步，本題考查最值問題，屬于最不利構造。

　第二步，拿到相同顏色的球需要的次數(shù)最多，考慮最不利情況，即每種顏色的球各取一個， 需要 6 次。此時再任取 1 球，則該球的顏色必然和之前已經(jīng)取到的某個球顏色相同，最多需 要 6+1=7（次）。

　因此，選擇 D 選項。

　【助教筆記 8】【例 2】【答案】B 【解析】

　第一步，本題考查最值問題，屬于最不利構造。

　第二步，最不利構造問題的答案=最不利的情況+1。由題分析，最不利的情況為三家公司拿 出的專利數(shù)都盡量多且小于 2110，即中興 2109、松下 2109，華為 1831，則至少拿出 2109+2109+1831+1=6050（項）專利才能滿足題意。

　因此，選擇 B 選項。

　【助教筆記 9】【例 3】【答案】B 【解析】

　第一步，本題考查最值問題，屬于最不利構造。

　第二步，最不利構造問題的答案=最不利情況+1。由報名了至少一項，可得報名方式有 C

　 5 C

　 C

　 C

　 C 5 =31（種）。要求有 4 名會員報名情況相同，最不利的情況為每種報名方 5 5 5 5 式各有 3 人，共 3×31=93（人）。故至少要調(diào)查 93+1=94（個）樣本，才能保證樣本中有 4 名會員報的興趣班完全相同。

　因此，選擇 B 選項。

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　資料會員群、更多考試資料請?zhí)砑游⑿?賬號：mao1103mao 【助教筆記 10】【例 4】【答案】C 【解析】

　第一步，本題考查最值問題，屬于數(shù)列構造。

　第二步，要使一個抽獎箱獎品最多，則其余抽獎箱獎品盡量少。由于數(shù)量不等，故其余三個 抽獎箱放置的獎品個數(shù)分別為 1、2、3。

　第三步，則一個抽獎箱最多可放 18－1－2－3=12（個）。

　因此，選擇 C 選項。

　【助教筆記 11】【例 5】【答案】B 【解析】

　第一步，本題考查最值問題，屬于數(shù)列構造。

　第二步，設第三名為 x 分，總分一定的情況下，為使 x 至少，則其他名次的分數(shù)盡可能高。

　由于得分是互不相同的整數(shù)，則前兩名最高為 120、119 分，后兩名最高為 x－1、x－2。

　第三步，根據(jù)題意可列方程：115×5=120+119+x+x－1+x－2，解得 x=113。

　因此，選擇 B 選項。

　【助教筆記 12】【例 6】【答案】C 【解析】

　第一步，本題考查最值問題，屬于數(shù)列構造。

　第二步，設人數(shù)最少的是 x 人參加，它最少意味著其他項目最多，可列表如下即為：2x，2x， 2x，2x，x，五項活動的人數(shù)為 9x=100，解得 x≈11.1，即最少有 12 人參加。

　因此，選擇 C 選項。

　【助教筆記 13】【例 7】【答案】A 【解析】

　第一步，本題考查最值問題，屬于反向構造。

　第二步，多集合反向構造解題方法是：反向——求和——做差。

　反向：沒使用過甲軟件有 1－68%=32%；沒使用過乙軟件的有 1－87%=13%；沒使用過丙軟 件的有 1－75%=25%，沒使用過丁軟件的有 1－82%=18%； 求和：未使用過甲乙丙丁四款軟件的人最多有 32%+13%+25%+18%=88%； 做差：全部四款軟件都使用過的最少有 1－88%=12%。

　第三步，四款軟件都使用過的人至少為 1000×12%=120（人）。

　因此，選擇 A 選項。

　第十章年齡問題 1.N 年之后年齡加 N，N 年之前年齡減 N。

　2.兩人年齡差保持不變。

　3.屬相問題。

　4.解題方法：①方程法；②代入排除法。

　【助教筆記 14】【例 1】【答案】D 資料會員群、更多考試資料請?zhí)砑游⑿?賬號：mao1103mao

　資料會員群、更多考試資料請?zhí)砑游⑿?賬號：mao1103mao 【解析】

　解法一：

　第一步，本題考查年齡問題。

　第二步，設三年前女兒的年齡為 x 歲，年齡變化如下表格：

　第三步，由 3 年后張三的年齡是他女兒的 5 倍，可得 17x+6=5（x+6），解得 x=2，則女兒 現(xiàn)在的年齡為 2+3=5（歲）。

　因此，選擇 D 選項。

　解法二：

　第一步，本題考查年齡問題，用代入排除法解題。

　第二步，根據(jù) 3 年前張三的年齡是他女兒的 17 倍，排除 A、B；代入 C 選項，3 年前張三 的年齡為 17×（4－3）=17 歲，計算 3 年后，張三的年齡為 17+6=23（歲），女兒的年齡為 4+3=7（歲），不滿足 5 倍，排除。

　因此，選擇 D 選項。

　【助教筆記 15】【例 2】【答案】B 【解析】

　第一步，本題考查年齡問題，用方程法解題。

　第二步，2018 年，父親年齡是女兒的 6 倍，是母親的 1.2 倍，設女兒年齡為 x 歲，則父親為 6x 歲，母親為 5x 歲。女兒與母親年齡差為 5x－x=24，則 x=6，故 2018 年女兒 6 歲，父親 36 歲，母親 30 歲。

　第三步，設（2018 年的）t 年后父母年齡之和是女兒的四倍，則有（36+t）+（30+t）=4× （6+t），解得 t=21。因此，在 2018 年+21=2039 年。

　因此，選擇 B 選項。

　【助教筆記 16】【例 3】【答案】C 【解析】

　解法一：

　第一步，本題考查年齡問題，用方程法解題。

　第二步，父親、張老師、兒子、孫子每兩代人年齡差相同，設此年齡差為 d，則父親為（兒 +2d），張老師為（兒+d），孫子為（兒－d），因此四人年齡總和為（4 兒+2d）。

　第三步，由 5 年前張老師父親年齡是兒子的 3 倍即比兒子大 2 倍，即 2d=2（兒－5）①；由 8 年后張老師年齡是孫子的 5 倍即比孫子大 4 倍即 2d=4（兒－d+8）②；由①②可得兒=31， d=26，因此四人年齡總和為 4 兒+2d=4×31+2×26=176（歲）。

　因此，選擇 C 選項。

　解法二：

　第一步，本題考查年齡問題，用方程法解題。

　第二步，父親、張老師、兒子、孫子每兩代人年齡差相同，可設為 x，由 5 年前張老師父親 年齡是兒子的 3 倍即比兒子大 2 倍，張老師父親比兒子大 2 個年齡差，因此年齡差與 5 年前 兒子年齡一樣，為 x，則孫子為 0 歲。由 8 年后張老師年齡是孫子的 5 倍，8 年后孫子為 13 歲，張老師為 65，可知年齡差為(65－13)÷2=26（歲），因此 8 年后 4 人年齡和為 91+65+39+13， 資料會員群、更多考試資料請?zhí)砑游⑿?賬號：mao1103mao

　資料會員群、更多考試資料請?zhí)砑游⑿?賬號：mao1103mao 那么今年 4 人的年齡和為 91+65+39+13－4×8=176（或可用尾數(shù)法，尾數(shù)為 6）。

　因此，選擇 C 選項。

　【助教筆記 17】【例 4】【答案】C 【解析】

　第一步，本題考查年齡問題，用方程法解題。

　第二步，設蛇年小王 x 歲，母親為 3x 歲，父親為 3x+4。由屬相相同可知，小王和父親年齡 差可能為 24 或 36（符合實際情況）。若二者年齡差為 24 歲，得 3x+4－x=24，解得 x=10， 即蛇年小王 10 歲，則小王屬羊；若二者年齡差為 36 歲，得 3x+4－x=36，解得 x=16，即蛇 年小王 16 歲，則小王屬牛，沒有選項。

　因此，選擇 C 選項。

　【助教筆記】【作業(yè) 1】【答案】E 【解析】

　第一步，本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類，用公式法解題。

　第二步，按照三集合容斥標準型公式，直接設三種食品添加劑都不達標的為 x 種，列出方程：

　68+77+59－54－43－35+30+x=120，解得 x=18（可用尾數(shù)法計算）。

　因此，選擇 E 選項。

　【助教筆記】【作業(yè) 2】【答案】A 【解析】

　第一步，本題考查最值問題，屬于反向構造類。

　第二步，反向構造類題目解題步驟為：反向——加和——做差 反向：趙未借閱 100－75=25（本）；王未借閱 100－70=30（本）；劉未借閱 100－60=40 （本）； 加和：未被三人借閱過的雜志最多為 25+30+40=95（本）； 做差：三人共同借閱過的雜志最少有 100－95=5（本）。

　因此，選擇 A 選項。

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