公務(wù)員政法干警數(shù)量關(guān)系比賽問(wèn)題專題匯總講解
發(fā)布時(shí)間:2020-10-16 來(lái)源: 演講稿 點(diǎn)擊:
比賽問(wèn)題專項(xiàng)
n 人參賽
需要的比賽場(chǎng)次 淘汰賽需要決出冠亞軍
n-1 (淘汰 n-1個(gè)隊(duì)伍就能決出冠亞軍)
淘汰賽需要決出前四名
n 單循環(huán)(任兩人間打一場(chǎng)比賽)
C(n 2)
雙循環(huán)(分主客場(chǎng))
A(n 2)
比賽推理類 例 1:小趙,小錢,小孫一起打羽毛球,每局兩人比賽,另一人休息,三人約定每一局的輸方下一局休息,結(jié)束時(shí)算了一下,小趙休息了 2 局,小錢共打了 8 局,小孫共打了 5 局,則參加第 9 局比賽的是(
)?
【國(guó)家 2011】
A.小錢和小孫
B.小趙和小錢
C.小趙和小孫
D.以上皆有可能 楚香凝解析:小趙休息的 2 局是小錢和小孫在打,根據(jù)兩容斥公式,總局?jǐn)?shù)=8+5-2=11 局,小孫打了 5 局,因?yàn)椴荒苓B續(xù)休息兩局,所以小孫必然是休息一局打一局,奇數(shù)局休息、偶數(shù)局上場(chǎng),所以第 9 局是小趙和小錢,選 B
例 2:4 支足球隊(duì)單循環(huán)賽,每?jī)申?duì)都賽一場(chǎng),每?jī)申?duì)都賽一場(chǎng),每場(chǎng)勝者得 3 分,負(fù)者得0 分,平局各得 1 分。比賽結(jié)束 4 支隊(duì)的得分恰好是 4 個(gè)連續(xù)自然數(shù),第四名輸給第(
)名。
A.第一名
B.第二名
C.第三名
D.無(wú)法確定 楚香凝解析:每場(chǎng)最少得 2 分、最多得 3 分,共 C(4 2)=6 場(chǎng),所以總分?jǐn)?shù)介于 12-18 之間;則四個(gè)連續(xù)自然數(shù)可以是 2+3+4+5=14 或 3+4+5+6=18,當(dāng)為 18 時(shí)相當(dāng)于沒(méi)有平局,則不可能出現(xiàn) 4 分、5 分的情況,排除;所以四支隊(duì)的得分分別是 2、3、4、5,第一名 5 分說(shuō)明勝 1 場(chǎng)平 2 場(chǎng)、第二名 4 分說(shuō)明勝 1 場(chǎng)平 1 場(chǎng)負(fù) 1 場(chǎng)、第四名 2 分說(shuō)明平 2 場(chǎng)負(fù) 1 場(chǎng),三支隊(duì)伍共勝 2 場(chǎng)平 5 場(chǎng)負(fù) 2 場(chǎng)(勝的總場(chǎng)數(shù)=負(fù)的總場(chǎng)數(shù)),則第三名只能為平 3 場(chǎng)、相當(dāng)于跟另外三支隊(duì)伍都是平局,則第四名的另一場(chǎng)平局只能跟第一名,那么第四名輸給了第二名,選 B
比賽分?jǐn)?shù)類 例1:8支足球隊(duì)參加單循環(huán)比賽,勝者得2分,平者得1分,負(fù)者得0分,比賽結(jié)束后,8支足球隊(duì)的得分各不相同,且第2名的得分與后4名的得分總和相等,第3名的得分是第5名的兩倍,第4名的得分是第6名的兩倍。問(wèn)第一名比第四名多拿了多少分?
【山東2014】
A.3
B.4
C.5
D.6 楚香凝解析:8個(gè)隊(duì)單循環(huán),總場(chǎng)次=C(8 2)=28場(chǎng),每場(chǎng)無(wú)論勝負(fù)情況如何兩人總分都是2分,所以總比分=56分,第三名得分是第五名的兩倍,第四名的得分是第六名的兩倍,所以第三名和第四名的得分必為偶數(shù),第二名的得分與后四名相同,所以兩者和也必為偶數(shù),現(xiàn)在第二名+第5678名是偶數(shù)、第三名+四名是偶數(shù),所以第一名也必為偶數(shù),排除 AC,假設(shè)差了四分,設(shè)第一名 x、第二名 x-1、第三名 x-2、第四名 x-4、后四名 x-1,總和=5x-8=56,
x 不是整數(shù)排除,選 D
例 2:學(xué)校舉辦一次中國(guó)象棋比賽,有 10 名同學(xué)參加,比賽采用單循環(huán)賽制,每名同學(xué)都要與其他 9 名同學(xué)比賽一局。比賽規(guī)則,每局棋勝者得 2 分,負(fù)者得 0 分,平局兩人各得 1分,比賽結(jié)束后,10 名同學(xué)的得分各不相同,已知:(1)比賽第一名與第二名都是一局都沒(méi)有輸過(guò);(2)前兩名的得分總和比第三名多 20 分;(3)第四名的得分與最后四名的得分和相等。那么,排名第五名的同學(xué)的得分是(
。。
【國(guó)家 2007】
A.8 分
B.9 分
C.10 分
D.11 分 楚香凝解析:10 名同學(xué)單循環(huán),每局無(wú)論勝負(fù)平,總分都是 2 分,所以總分?jǐn)?shù) C(10 2)*2=90,第一名和第二名沒(méi)輸過(guò),所以第一名最多勝 8 平 1 得 17 分,第二名最多勝 7 平二得 16 分,第三名最多 13 分,第四名=最后四名最多 12 分,這八名最多17+16+13+12*2=70 分;第五名最多 11 分、則第五名只能為 11 分,如果第五名取 10 分的話、第六名最多 9 分,此時(shí) 70+10+9=89≠90 分,選 D
例 3:一次足球賽,有 A、B、C、D 四隊(duì)參加,每?jī)申?duì)都賽一場(chǎng)。按規(guī)則,勝一場(chǎng)得 2 分,平一場(chǎng)得 1 分,負(fù)一場(chǎng)得 0 分。比賽結(jié)果,C 隊(duì)得 5 分,A 隊(duì)得 3 分,D 隊(duì)得 1 分,所有場(chǎng)次共進(jìn)了 9 個(gè)球,C 隊(duì)進(jìn)球最多,進(jìn)了 4 個(gè)球,A 隊(duì)共失了 3 個(gè)球,B 隊(duì)一個(gè)球也沒(méi)進(jìn),D隊(duì)與 A 隊(duì)比分是 2∶3,則 D 隊(duì)與 C 隊(duì)的比分是(
)
A.0:0
B.0:1
C.0:3
D.3:2 楚香凝解析:A 隊(duì)共失了 3 個(gè)球,D 隊(duì)與 A 隊(duì)比分是 2∶3。說(shuō)明 A 隊(duì)失球其中兩個(gè)是 D 隊(duì)射的。又因?yàn)?B 沒(méi)進(jìn)球,所以另外一個(gè)失球來(lái)自于 C 隊(duì)。D 隊(duì)與 A 隊(duì)比分是 2∶3,所有場(chǎng)次共進(jìn)了 9 個(gè)球,C 隊(duì)進(jìn)了 4 個(gè)球。說(shuō)明 A 隊(duì)射 3 個(gè),C 隊(duì)射 4 個(gè),D 隊(duì)射 2 個(gè)。C:A = 1:0 A得到 2 分
B:D=0:0 D 得到 1 分 比賽結(jié)果 D 隊(duì)總分是 1 分,所以 D 在對(duì)抗其他隊(duì)伍的時(shí)候都是輸?shù)。又因(yàn)?C 隊(duì)得 5 分,表示 c 兩勝一平,它已經(jīng)勝了 A,并且有因?yàn)橼A了 D 所以只能和 B 打成平手。C:B=0:0 。所以 D 隊(duì)與 C 隊(duì)的比分是:0:3 ,選 C
例 4:五支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽,每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽.勝一場(chǎng)得 3 分,平一場(chǎng)得 1 分,負(fù)一場(chǎng)得 0 分。最后發(fā)現(xiàn)各隊(duì)得分都不相同,第三名得了 7 分,并且和第一名打平,獲得第一名的球隊(duì)得分是多少? A.9
B.10
C.11
D.12 楚香凝解析:每個(gè)隊(duì)比 4 場(chǎng),第一名平了一場(chǎng),剩下 3 場(chǎng)全勝的話,為 10 分,排除 CD;如果是 A 的話,第一名平了一場(chǎng),剩下 3 場(chǎng)得分總和不可能為 8 分,排除;選 B
例 5:小劉和小李進(jìn)行投標(biāo)比賽,投不中記零環(huán),投中按離靶心距離得 1~10 環(huán)。兩人各投 5標(biāo),所得環(huán)數(shù)之積都是 1764,但小劉的總環(huán)數(shù)比小李多 4 環(huán),那么小李得了( )環(huán)。
【河北政法干警 2014】
A.24
B.26
C.28
D.30 楚香凝解析:1764=2 2 *3 2 *7 2 ,所以可以拆成五種①(2*2)*3*3*7*7,和為 4+20=24;②(2*3)*2*3*7*7,和為 6+5+14=25;③(3*3)*2*2*7*7,和為 9+4+14=27;④(2*2)*(3*3)*1*7*7,和為 28;⑤(2*3)*(2*3)*1*7*7,和為 27;要想滿足兩人差為 4,則小李總環(huán)數(shù)必為 24環(huán),選 A 例 6:在一場(chǎng)籃球比賽中,甲、乙、丙、丁共得 125 分,如果甲再多得 4 分,乙再少得 4 分,丙的分?jǐn)?shù)除以 4,丁的分?jǐn)?shù)乘以 4,則四人得分相同。問(wèn)甲在這場(chǎng)比賽中得了多少分?
【山西 2014】
A.24
B.20
C.16
D.12 楚香凝解析:假設(shè)四人變化后得分相同都為 x,則甲實(shí)際得分(x-4),乙實(shí)際得分(x+4),丙得分(4x),丁得分(x/4),四人實(shí)際得分和=25x/4=125,得 x=20,所以甲實(shí)際得分 20-4=16,選 C
比賽名次類 例 1:某單位舉辦圍棋聯(lián)賽,所有選手的排名都沒(méi)有出現(xiàn)并列名次。小周發(fā)現(xiàn)除自己以外,其他所有人排名數(shù)字之和正好是 70。問(wèn)小周排名第幾?
【山東 2014】
A.7
B.8
C.9
D.10 楚香凝解析:所有選手的排名構(gòu)成首項(xiàng)為 1 的等差數(shù)列,1+2+…+N,N 取 12 時(shí)總數(shù)為 78,所以小周排第八,選 B
比賽局?jǐn)?shù)類 例 1:有 101 位乒乓球運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽。通過(guò)比賽,將從中產(chǎn)生一名冠軍。這次比賽實(shí)行捉對(duì)淘汰制,在一輪比賽全部結(jié)束后,失敗者失去繼續(xù)比賽的資格,而勝利者再次抽簽,參加下一輪的比賽。問(wèn)一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽才能最終產(chǎn)生冠軍? 【廣東 2004】
A.32
B.63
C.100
D.101 楚香凝解析:101 個(gè)人進(jìn)行淘汰賽決出冠軍需要 100 場(chǎng),選 C
例 2:100 名男女運(yùn)動(dòng)員參加乒乓球單打淘汰賽,要產(chǎn)生男、女冠軍各一名,則要安排單打賽多少場(chǎng)?
【國(guó)家 2006】
A.90
B.95
C.98
D.99 楚香凝解析:假設(shè)男女各 50 名,男女各需要 49 場(chǎng)、共 98 場(chǎng),選 C
例 3:某次比賽共有 32 名選手,先被平均分為 8 組,以單循環(huán)的方式進(jìn)行比賽每組前兩名隊(duì)員再進(jìn)行淘汰賽,直到?jīng)Q出冠軍。請(qǐng)問(wèn)共需要安排幾場(chǎng)比賽?
A.48
B.63
C.64
D.65 楚香凝解析:分成 8 組、每組 4 人單循環(huán),共有 8* C(4
2)=48 場(chǎng);每組前兩名共 16 名進(jìn)行淘汰賽,決出冠軍需要 15 場(chǎng),共 48+15=63 場(chǎng),選 B
例 4:某足球賽決賽,共有 24 個(gè)隊(duì)參加,它們先分成六個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽,決出 16 強(qiáng),這 16 個(gè)隊(duì)按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽,最后決出冠、亞軍和第三、四名?偣残枰才哦嗌賵(chǎng)比賽?
【上海 2004】
A.48
B.51
C.52
D.54 楚香凝解析:分成六個(gè)小組,每組 4 人單循環(huán)需要 6*C(4
2)=36 場(chǎng);16 強(qiáng)的隊(duì)伍決出冠亞軍需要 16 場(chǎng),共 36+16=52 場(chǎng),選 C
例 5:A、B、C、D 四支球隊(duì)開(kāi)展籃球比賽,每?jī)蓚(gè)隊(duì)之間都要比賽 1 場(chǎng),已知 A 隊(duì)已比賽了3 場(chǎng),B 隊(duì)已比賽了 2 場(chǎng),C 隊(duì)已比賽了 1 場(chǎng),請(qǐng)問(wèn) D 隊(duì)已比賽了幾場(chǎng)? 【江蘇 2007】
A.3
B.2
C.1
D.0
楚香凝解析:連線法,A 跟 B/C/D 各比賽一場(chǎng),C 只跟 A 比賽一場(chǎng);B 跟 A/D 各比賽一場(chǎng);則 D 跟 A/B 各比賽一場(chǎng),選 B
例 6:A、B、C、D、E 5 個(gè)小組開(kāi)展撲克牌比賽,每?jī)蓚(gè)小組間都要比賽一場(chǎng),到現(xiàn)在為止,A 組已經(jīng)比賽了 4 場(chǎng),B 組已經(jīng)比賽了 3 場(chǎng),C 組已經(jīng)比賽了 2 場(chǎng),D 組已經(jīng)比賽了 1 場(chǎng),問(wèn)E 組比賽了幾場(chǎng)?
【江西 2008】
A.0
B.1
C.2
D.3 楚香凝解析:連線法,A 跟 B/C/D/E 各比賽一場(chǎng),D 只跟 A 比賽一場(chǎng);B 跟 A/C/E 各比賽一場(chǎng),C 只跟 A 和 B 比賽各比賽一場(chǎng);則 E 跟 A/B 各比賽一場(chǎng),選 C
例7:八名棋手進(jìn)行單循環(huán)比賽,每?jī)扇酥粚?duì)局一次,其中七人已經(jīng)分別賽過(guò)7、6、5、4、3、2、1盤。問(wèn)另外一人比賽了幾盤?
【青海2014】
A.0
B.2
C.4
D.6 楚香凝解析:讓前7個(gè)人按照賽事多少編號(hào)為 ABCDEFG、第八個(gè)人編號(hào) H。從兩端往中間分析,A 比賽了7盤,相當(dāng)于跟 B/C/D/E/F/G/H 都比賽一盤,G 只比賽一盤,所以只跟 A 比賽;B 比賽了六盤,所以跟 A/C/D/E/F/H(除了 G)都比賽過(guò),F(xiàn) 比賽了兩盤,只跟 A/B 比賽過(guò);C比賽了五盤,所以跟除了 A/B/D/E/H(除了 F 和 G)都比賽過(guò),E 比賽了三盤,只跟 A/B/C比賽過(guò);D 比賽了四盤,除了跟 A/B/C 比賽之外,只能跟 H 比賽一場(chǎng),所以跟 H 比賽的人有A、B、C、D 四個(gè)人,選 C
對(duì)例5、例6、例7進(jìn)行總結(jié),a 個(gè)人(a≥2)進(jìn)行單循環(huán),其中 a-1個(gè)人分別賽過(guò) a-1、a-2…1場(chǎng),那么另外一人比賽了 b 場(chǎng)。
。1)當(dāng) a 為偶數(shù)時(shí),b=a/2; (2)當(dāng) a 為奇數(shù)時(shí),b=(a-1)/2;
例 8:某高校組織了籃球比賽。其中機(jī)械學(xué)院隊(duì)、外語(yǔ)學(xué)院隊(duì)、材料學(xué)院隊(duì)和管理學(xué)院隊(duì)被分在同一個(gè)小組,每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽且無(wú)平局。結(jié)果機(jī)械學(xué)院隊(duì)贏了管理學(xué)院隊(duì),且機(jī)械學(xué)院隊(duì)、外語(yǔ)學(xué)院隊(duì)和材料學(xué)院隊(duì)勝利的場(chǎng)數(shù)相同,則管理學(xué)院隊(duì)勝了多少場(chǎng)? 【河南 2013】
A.3
B.2
C.1
D.0 楚香凝解析:總共 C(4 2)=6 場(chǎng)、總共勝 6 次負(fù) 6 次,機(jī)械、外語(yǔ)和材料勝利場(chǎng)數(shù)相同,如果都勝 1 次的話,那么管理學(xué)院勝 3 次,與題干機(jī)械贏了管理不符;則機(jī)械、外語(yǔ)和材料都勝兩次,管理勝了 0 次,選 D
例 9:某羽毛球賽共有 23 支隊(duì)伍報(bào)名參賽,賽事安排 23 支隊(duì)伍抽簽兩兩爭(zhēng)奪下一輪的出線權(quán),沒(méi)有抽到對(duì)手的隊(duì)伍輪空,直接進(jìn)入下一輪。那么,本次羽毛球賽最后共會(huì)遇到多少次輪空的情況?
【國(guó)家 2014】
A.1
B.2
C.3
D.4 楚香凝解析:只有奇數(shù)進(jìn)行分組的時(shí)候才能出現(xiàn)輪空的情況
23-------12-------6------3-------2-------1
輪空
輪空
,選 B
例 10:8 個(gè)甲級(jí)隊(duì)?wèi)?yīng)邀參加比賽,先平均分成兩組,分別進(jìn)行單循環(huán)賽,每組決出前兩名,再由每組的第一名和另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽,獲勝者角逐冠、亞軍,敗者角逐第三、四名,整個(gè)賽程的比賽場(chǎng)數(shù)是(
。
【福建 2006】
A.16
B.15
C.14
D.13 楚香凝解析:分為兩組,每個(gè)組 4 隊(duì)單循環(huán),共 2*C(4 2)=12 場(chǎng);4 個(gè)隊(duì)伍決出冠亞軍共4 場(chǎng),共 12+4=16 場(chǎng),選 A
比賽人數(shù)類 例 1:在一次象棋比賽中,每?jī)蓚(gè)選手恰好比賽一局,每局贏者記 2 分,輸者記 0 分,平局每個(gè)選手各記 1 分,今有 4 個(gè)人統(tǒng)計(jì)這次比賽中全部得分的總數(shù),由于有的人粗心,其數(shù)據(jù)各不相同,分別為 1979,1980,1984,1985,經(jīng)核實(shí),其中有一人統(tǒng)計(jì)無(wú)誤,則這次比賽共有多少名選手參加? A.44
B.45
C.46
D.47 楚香凝解析:總共 C(n
2)局,每局總分 2,所以總分為 n*(n-1),連續(xù)兩個(gè)自然數(shù)的尾數(shù)只能為 0、2、6,所以正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)果只能是 1980,我們想到 45 2 =2025,45*44=2025-45=1980 剛好滿足,所以 n=45,選 B
例 2:某乒乓球俱樂(lè)部決定舉辦一場(chǎng)所有會(huì)員間的循環(huán)賽,經(jīng)俱樂(lè)部委員會(huì)計(jì)算,所需比賽場(chǎng)數(shù)剛剛超過(guò) 2000 場(chǎng),即使省略掉委員會(huì)委員們之間的比賽,場(chǎng)數(shù)仍有 2001 場(chǎng),那么這個(gè)乒乓球俱樂(lè)部有______個(gè)委員。
【上海 2014】
A.6
B.7
C.8
D.9 楚香凝解析:假設(shè)俱樂(lè)部共 n 人,單循環(huán)需要比賽的場(chǎng)數(shù)為 C(n 2)剛大于 2000,代入n=64 時(shí),64*63/2=2016 剛剛超過(guò) 2000,所以共 64 人、共 2016 場(chǎng),忽略委員間比賽后有 2001場(chǎng),所以委員間有 2016-2001=15 場(chǎng),C(m 2)=15 得 m*(m-1)=30,解得 m=6,選 A
比賽概率類 例 1:田忌與齊威王賽馬并最終獲勝被傳為佳話,假設(shè)齊威王以上等馬、中等馬和下等馬的固定程序排陣,那么田忌隨機(jī)將自己的三匹馬排陣時(shí),能夠獲得兩場(chǎng)勝利的概率是? 【福建 2010】
A.2/3
B.1/3
C.1/6
D.1/9 楚香凝解析:齊威王的順序上中下是固定的,田忌的順序共有 A(3
3)=6 種,其中能獲得兩場(chǎng)勝利的只有下上中這一種,所以概率為 1/6,選 C
例2:兩支籃球隊(duì)打一個(gè)系列賽,三場(chǎng)兩勝制,第一場(chǎng)和第三場(chǎng)在甲隊(duì)的主場(chǎng),第二場(chǎng)在乙隊(duì)的主場(chǎng)。已知甲隊(duì)主場(chǎng)贏球概率為0.7,客場(chǎng)贏球概率為0.5。問(wèn)甲隊(duì)贏得這個(gè)系列賽的概率為多少?
【浙江2014】
A、0.3
B、0.595
C、0.7
D、0.795 楚香凝解析:甲在主客主三場(chǎng)中,主場(chǎng)贏的概率0.7、輸?shù)母怕?.3,客場(chǎng)輸或贏的概率都是0.5,分三類
主
客
主 贏贏
P 1 =0.7*0.5 贏輸贏
P 2 =0.7*0.5*0.7
輸贏贏
P 3 =0.3*0.5*0.7
P=P 1 +P 2 +P 3 =0.7*0.5+(0.7*0.5*0.7+0.3*0.5*0.7)=0.7*0.5+0.5*0.7=0.7,選 C
例 3:乒乓球比賽的規(guī)則是五局三勝制。甲、乙兩球員的勝率分別是 60%與 40%。在一次比賽中,若甲先連勝了前兩局,則甲最后獲勝的勝率是(
)。
【浙江 2006】
A.為 60%
B.在 81%~85%之間
C.在 86%~90%之間
D.在 91%以上 楚 香 凝 解 析 :
乙 要 想 獲 勝 的 話 , 接 下 來(lái) 的 3 局 必 須 全 勝 , 則 乙 獲 勝 的 概 率P=0.4*0.4*0.4=0.064=6.4%,可得甲獲勝的概率=1-6.5%=93.6%,選 D
比賽總分?jǐn)?shù)類 例1:象棋比賽中,每個(gè)選手均與其他選手比賽一局,每局勝者得2分,負(fù)者得0分,和棋各得1分,那么以下可能是這次比賽所有選手得分的總和是:
【黑龍江2014】
A.78
B.67
C.56
D.89 楚香凝解析:假設(shè)總共有 n 個(gè)選手,單循環(huán)總場(chǎng)次= C(n 2)=n*(n-1)/2,因?yàn)槊繄?chǎng)無(wú)論勝負(fù)總分?jǐn)?shù)為2分,所以總共的分?jǐn)?shù)為 n*(n-1),連續(xù)兩個(gè)自然數(shù)乘積必為偶數(shù),排除 BD,很容易想到七八五十六(此時(shí)總共8位選手,比賽了28場(chǎng)),選 C
比賽循環(huán)周期類 例 1:甲乙兩人在玩一個(gè)沙盤游戲。比賽的規(guī)則是:在一個(gè)分為 50 個(gè)單位的區(qū)域上,每人輪流去規(guī)定這些區(qū)域作為自己的領(lǐng)地,每次可以劃定 1 到 5 個(gè)單位,誰(shuí)作為最后劃定區(qū)域的人則為勝利者。如果由甲先劃定,那么甲一開(kāi)始要?jiǎng)澏ǎ?/p>
。﹤(gè)單位,才能保證自己的獲勝。
【廣州 2014】
A.1
B.2
C.3
D.4 楚香凝解析:每次劃定 1-5 個(gè)單位,周期為 1+5=6,50 內(nèi)有 8 個(gè)周期,50-8*6=2,所以甲開(kāi)始要?jiǎng)澏?2 個(gè)單位,接下來(lái)每次乙劃定 a 個(gè)單位時(shí),甲只需劃定(6-a)個(gè)單位(保證兩人為一周期)則最后必定是甲來(lái)劃定完最后一個(gè)周期,選 B
拓展:如果題目改為誰(shuí)作為最后劃定區(qū)域的人則為失敗者,那么甲一開(kāi)始要?jiǎng)澏?1 個(gè)單位,然后乙劃定 a 個(gè)單位時(shí),甲只需劃定 6-a 個(gè)單位(保證兩人為一周期),最后必定給乙留下最后 1 個(gè)單位。
比賽極值問(wèn)題 ①總隊(duì)伍數(shù)極值 例 1:某機(jī)關(guān)打算在系統(tǒng)內(nèi)舉辦籃球比賽,采用單循環(huán)賽制,根據(jù)時(shí)間安排,只能進(jìn)行 21場(chǎng)比賽,請(qǐng)問(wèn)最多能有幾個(gè)代表隊(duì)參賽? A.6
B.7
C.12
D.14 楚香凝解析:假設(shè)有 n 個(gè)隊(duì)伍,總場(chǎng)數(shù)=n*(n-1)/2=21,整理得 n*(n-1)=42,所以 n=7,選 B
例 2:有 16 位選手參加象棋晉級(jí)賽. 每?jī)扇硕贾毁愐槐P. 每盤勝者積 1 分, 敗者積 0 分。如果和棋, 每人各積 0.5 分。比賽全部結(jié)束后, 積分不少于 10 分者可以晉級(jí),則本次比賽最多有名晉級(jí)者? A.12
B.11
C.10
D.9 楚香凝解析:總分?jǐn)?shù)=1*C(16
2)=120 分;假設(shè) 12 人晉級(jí)的話,則另外 4 人都是 0 分(不成立,另外 4 人兩兩之間有 6 場(chǎng)比賽至少有 6 分);假設(shè) 11 人晉級(jí)的話,則另外 5 人總分10 分,11 人每人賽 15 場(chǎng),每個(gè)人 5 勝 10 平=10 分,另外 5 人每人平 4 負(fù) 12 即可滿足,選B
、诜?jǐn)?shù)極值 例 1:有 4 支隊(duì)伍進(jìn)行 4 項(xiàng)體育比賽,每項(xiàng)比賽的第一、第二、第三、第四名分別得到 5、3、2、1 分,每隊(duì)的 4 項(xiàng)比賽的得分之和算作總分,如果已知各隊(duì)的總分不相同,并且 A 隊(duì)獲得了三項(xiàng)比賽的第一名,問(wèn)總分最少的隊(duì)伍最多得多少分?
【聯(lián)考 2009】
A.7
B.8
C.9
D.10 楚香凝解析:每項(xiàng)比賽總分=5+3+2+1=11 分,4 項(xiàng)比賽總共 44 分;要想最后一名得分最多,則其他隊(duì)伍得分最少;A 獲得三次第一總分最少為 3*5+1=16 分,剩下三只隊(duì)伍最多得分=44-16=28 分,后三名分?jǐn)?shù)構(gòu)成等差數(shù)列,則第三名分?jǐn)?shù)=28/3≈9.3 分,最后一名分?jǐn)?shù)≈8.3,至多為 8 分,選 B
例 2:甲、乙、丙、丁四個(gè)隊(duì)參加五項(xiàng)比賽,每項(xiàng)第一名得 3 分,第二名得 2 分,第三名得1 分,第四名不得分,已知甲隊(duì)獲得了 3 次第一名,乙隊(duì)獲得了 3 次第二名,那么得分最少的隊(duì)的分?jǐn)?shù)不可能超過(guò)(
。┓帧
【廣東 2012】
A.5
B.6
C.7
D.8 楚香凝解析:每項(xiàng)總分=3+2+1=6 分,五項(xiàng)總分=5*6=30 分;要想第四名得分最高,其他隊(duì)伍得分就要最少,甲最少 9 分,剩下三個(gè)隊(duì)伍分?jǐn)?shù)和=30-9=21 分,所以第四名的成績(jī)不可能超過(guò) 21/3=7 分,選 C
例 3:一次數(shù)學(xué)考試滿分為 100 分,某班前六名同學(xué)的平均分為 95 分,排名第六的同學(xué)得分 86 分,假如每個(gè)人的得分是互不相同的整數(shù),那么排名第三的同學(xué)最少得多少分? 【北京社招 2009】
A.94
B.97
C.95
D.96 楚香凝解析:要想使得排名第三扣的分?jǐn)?shù)最多,其他人就要扣的最少,讓前兩名分別扣 0、1 分,第六名扣了 14,則這三人共扣了 15 分;六個(gè)人共扣 6*(100-95)=30 分,第 3、4、5 名共扣了 30-15=15 分,構(gòu)成等差數(shù)列,第四名扣了 15/3=5 分,則第三名扣了 4 分、得了96 分,選 D
例 4:一學(xué)生在期末考試中 6 門課成績(jī)的平均分為 92.5 分,且 6 門課的成績(jī)是互不相同的整數(shù),最高分是 99 分,最低分是 76 分,則按分?jǐn)?shù)從高到低居第三的那門課至少得分為:
【江蘇 2012B】
A.93
B.95
C.96
D.97 楚香凝解析:要想使得第三門扣的最多,其他門就要扣的最少,讓前兩門分別扣 1、2 分,第六門扣 24 分,這三門共扣了 27 分;六門共扣了 6*(100-92.5)=45 分,第 3、4、5 門扣了 45-27=18 分,構(gòu)成等差數(shù)列,第四名扣了 18/3=6 分,則第三名扣了 5 分、得了 95 分,選 B
例 5:有 10 人參加籃球比賽,贏一局得 3 分,平 1 局得 1 分,輸一局不得分,那么第三名和第四名的分?jǐn)?shù)差最大是多少分? A.20
B.18
C.17
D.16
楚香凝解析:第三名分?jǐn)?shù)最多的情況為前三名都是勝 8 負(fù) 1 共 24 分(A 輸給 B、B 輸給 C、C輸給 A);第四名分?jǐn)?shù)最少的情況為后七名都是平 6 負(fù) 3 共 6 分,則第三名和第四名分?jǐn)?shù)差最大為 24-6=18,選 B
例 6:公司舉辦的內(nèi)部業(yè)務(wù)知識(shí)競(jìng)賽有若干人參加,所有參賽者獲得的名次之和為 300,且所有人沒(méi)有并列名次。其中,銷售部門、售后服務(wù)部門和技術(shù)部門參賽者獲得的名次平均數(shù)分別為 11.3、10.4 和 9.2,問(wèn)其他部門獲得的名次最高為多少? 【河南 2014】
A.16
B.18
C.20
D.21 楚香凝解析:假設(shè)有 n 人,可得 1+2+3+…+n=n*(n+1)/2=300,所以 n*(n+1)=600,解得n=24;每個(gè)部門的總分?jǐn)?shù)必為整數(shù),所以銷售部門人數(shù)為 10、售后服務(wù)部門人數(shù)為 5、技術(shù)部門人數(shù)為 5,總共 10+5+5=20 人、總名次=10*11.3+5*10.4+5*9.2=211,則其他部門的人數(shù)為 24-20=4、總名次=300-211=89,要想讓其中一個(gè)最高(名次數(shù)盡可能。,則剩下的就得盡可能低(名次數(shù)盡可能大),剩下三個(gè)分別取 22、23、24,此時(shí)最高的名次為89-23*3=20,選 C
例 7:有一群人參加投籃比賽,比賽時(shí)長(zhǎng) 3 分鐘,投進(jìn)一次記 2 分,不進(jìn)不扣分。所有人平均分為 77,最低分為 70。前四名分?jǐn)?shù)不同,其中第四名為 90 分,后發(fā)現(xiàn)此人作弊,成績(jī)無(wú)效。去掉此人后,平均分為 76 分。則此次比賽中第二名最多得多少分? A.96
B.98
C.100
D.102 楚香凝解析:以前每人平均分 76,加了這個(gè) 90 分的人使得所有人平均分增加 1 分,說(shuō)明總共 14 個(gè)人,以總分 100 為參照,共扣了 23*14=322 分,投進(jìn)一個(gè)得 2 分,所以每個(gè)人的總得分都為偶數(shù)、扣的分?jǐn)?shù)也為偶數(shù);第二名要想扣的最少,其他人就要扣的盡可能多,第四名扣了 10 分,讓第三名扣了 8 分、第 5-14 都扣了 30 分,則第 3-14 名共扣了 30*10+10+8=318分,剩下 4 分是前兩名扣的,讓第一名扣 0 分、第二名扣 4 分,所以第二名 96 分,選 A
例 8:某機(jī)關(guān) 20 人參加百分制的普法考試,及格線為 60 分,20 人的平均成績(jī)?yōu)?88 分,及格率為 95%。所有人得分均為整數(shù),且彼此得分不同。問(wèn)成績(jī)排名第十的人最低考了多少分? 【國(guó)家 2010】
A.89
B.88
C.91
D.90 楚香凝解析:20 人總共扣了 20*(100-88)=240 分,要想使得第十名得分最低,就要使第十名扣的分?jǐn)?shù)盡可能多,其他人扣的分?jǐn)?shù)盡可能少;前 9 名分別扣了 0、1…8 分、最后一名扣了 41 分,總共扣了 36+41=77 分,所以第十名到第 19 名這十個(gè)人扣了 240-77=163 分;因?yàn)榈?11 名到第 19 名扣的分?jǐn)?shù)要盡可能多,所以相當(dāng)于從第 10 名到第 19 名扣的分?jǐn)?shù)構(gòu)成公差為 1 的等差數(shù)列,中位數(shù)為第 14.5 名扣了 163/10=16.3 分,所以第 10 名扣了 16.3-(14.5-10)=11.8,第十名最多扣 11.8,所以取 11,則第十名最少得分為 100-11=89,選 A
例 9 :
一個(gè) 20 人的班級(jí)舉行百分制測(cè)驗(yàn),平均分為 79 分,所有人得分都是整數(shù)且任意兩人得分不同。班級(jí)前 5 名的平均分正好是 16 到 20 名平均分的 2 倍。則班級(jí)第 6 名和第 15 名之間的分差最大為多少分?
【北京 2014】
A.34
B.37
C.40
D.43 楚香凝解析:要使得第 6 名和第 15 名分差最大,讓第六名分?jǐn)?shù)盡可能高、第 15 名分?jǐn)?shù)盡可能低;構(gòu)造前五名的成績(jī)分別是 100、99、98、97、96 分,后五名的成績(jī)分別是 51、50、49、48、47,此時(shí)第六名 95 分、第 15 名 52 分,分差 95-52=43;第 7-第 14 名的總成績(jī)=79*20-(100+95)*3-(52+47)*3=698 分,8 個(gè)人的平均分 87.25,顯然可以構(gòu)造出,所以 43 即為正確答案,選 D
③總局?jǐn)?shù)極值 例 1:小楊、小李、小魏三人比賽下圍棋,每局兩人,輸者退下?lián)Q另一個(gè)人。這樣繼續(xù)下去,在小楊下了 8 局,小李下了 5 局時(shí),小魏最多下了幾局?
A.12
B.11
C.10
D.9
楚香凝解析:假設(shè)小魏下了 a 局、總共 b 局,則小楊和小李下了(b-a)局,由兩容斥公式可得 8+5-(b-a)=b,整理得 13+a=2b,所以 a 為奇數(shù),排除 AC;最理想的情況下,小魏一局沒(méi)輸,小魏的對(duì)手分別為小楊、小李、小楊、小李…交替,總共 11 局,其中小楊下了 6局、小李下了 5 局,不符合題意,排除 B;選 D
例 2:8 個(gè)人比賽國(guó)際象棋,約定每?jī)扇酥g都要比賽一局,勝者得 2 分,平局得 1 分,負(fù)的不得分。在進(jìn)行了若干局比賽之后,發(fā)現(xiàn)每個(gè)人的分?jǐn)?shù)都不一樣。問(wèn)最多還有幾局比賽沒(méi)比?
【山西 2014】
A.3
B.7
C.10
D.14 楚香凝解析:每局不管誰(shuí)勝誰(shuí)負(fù),兩人總分?jǐn)?shù)為 2 分,八個(gè)人單循環(huán)賽總共 C82=28 場(chǎng),總分?jǐn)?shù)應(yīng)該為 28*2=56 分,每個(gè)人得分不一樣,我們令八個(gè)人目前的得分分別為 0、1、2…7,總共得了 8*7/2=28 分,還差 28 分,所以還差 28/2=14 局比賽沒(méi)比,選 D
例 3:某單位組織的羽毛球男單比賽共有 48 名選手報(bào)名參加,比賽采用淘汰賽制,在比賽中負(fù)一場(chǎng)的選手即被淘汰,直至決出最后的冠軍,如每名選手每天最多參加一場(chǎng)比賽,則比賽至少需要舉行幾天?
【北京 2014】
A.4
B.5
C.6
D.7 楚香凝解析:第一天比賽完剩下 24 名選手,第二天比賽完剩下 12 名,第三天比賽完剩下 6名,第四天比賽完剩下 3 名,第五天比賽完剩下 2 名(有一人沒(méi)參與),第六天可以決出冠軍,選 C
例 4:象棋邀請(qǐng)賽的六名選手舉行雙循環(huán)賽,最后各人的獲勝的次數(shù)都不相同。那么比賽最多有多少場(chǎng)平局? A.0
B.1
C.9
D.15 楚香凝解析:總場(chǎng)數(shù) A(6
2)=30,六個(gè)人獲勝場(chǎng)數(shù)分別為 0、1、2、3、4、5 共 15 場(chǎng),則平局最多為 30-15=15 場(chǎng),選 D
比賽結(jié)果種數(shù)類 例 1:某社區(qū)組織開(kāi)展知識(shí)競(jìng)賽,有 5 個(gè)家庭成功晉級(jí)決賽的搶答環(huán)節(jié),搶答環(huán)節(jié)共 5 道題。計(jì)分方式如下:每個(gè)家庭有 10 分為基礎(chǔ)分;若搶答到題目,答對(duì)一題得 5 分,答錯(cuò)一題扣
2 分;搶答不到題目不得分。那么,一個(gè)家庭在搶答環(huán)節(jié)有可能獲得(
)種不同的分?jǐn)?shù)。
【廣東 2013】
A.18
B.21
C.25
D.36 楚香凝解析:分類,答對(duì)一道和答錯(cuò)一道相差 5+2=7 分; ①搶到 0 道時(shí),得分只有一種,即基礎(chǔ)分 10 分; ②搶到 1 道時(shí),得分有兩種,答錯(cuò)為 8 分、答對(duì)為 15 分; ③搶到 2 道時(shí),得分有三種,分別是 6、13、20; ④搶到 3 道時(shí),得分有四種,分別是 4、11、18、25; ⑤搶到 4 道時(shí),得分有五種,分別是 2、9、16、23、30; ⑥搶到 5 道時(shí),得分有六種,分別是 0、7、14、21、28、35; 共 1+2+3+4+5+6=21 種,選 B
例 2:某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有 10 道選擇題,評(píng)分辦法是答對(duì)一道得 4 分,答錯(cuò)一道扣 1 分,不答得 0 分。設(shè)這次競(jìng)賽最多有 N 種可能的成績(jī),則 N 應(yīng)等于多少?
【深圳 2008】
A.45
B.47
C.49
D.51 楚香凝解析:分類,答對(duì)一道和答錯(cuò)一道相差 5 分; ①答 0 道時(shí),得分只有一種,即 0 分; ②答 1 道時(shí),得分有兩種,答錯(cuò)為-1、4; ③答 2 道時(shí),得分有三種,分別是-2、3、8; ④答 3 道時(shí),得分有四種,分別是-3、2、7、12; ⑤答 4 道時(shí),得分有五種,分別是-4、1、6、11、16; ⑥答 5 道時(shí),得分有六種,分別是-5、0、5、10、15、20; ⑦答 6 道時(shí),得分有七種,分別是-6、-1、4、9、14、19、24; ⑧答 7 道時(shí),得分有八種,分別是-7、-2、3、8、13、18、23、28; ⑨答 8 道時(shí),得分有九種,分別是-8、-3、2、7、12、17、22、27、32; ⑩答 9 道時(shí),得分有十種,分別是-9、-4、1、6、11、16、21、26、31、36; ⑾答 10 道時(shí),得分有十一種,分別是-10、-5、0、5、10、15、20、25、30、35、40; 可以看出從①-⑥都是包含在⑦-⑾里的,所以我們用 1+2+…+11=66 算出總數(shù)后,還要減掉其中重復(fù)的情況數(shù) 1+2+…+6=21,共 66-21=45 種,選 A
對(duì)于此類問(wèn)題,楚老師先給出公式:
a 道題,對(duì)一道得 b 分、錯(cuò)一道得 c 分、不答 0 分,共有多少種得分情況? (1)當(dāng) b 和 c 不互質(zhì)時(shí),先同時(shí)除以最大公約數(shù)變成標(biāo)準(zhǔn)形式;
(2)當(dāng) b 和 c 互質(zhì)時(shí),(1+2+3+…[a+1])-(1+2+…+[a-b-c+1]),其中(1+2+…+[a-b-c+1])表示重復(fù)的情況數(shù),如果[n-a-b+1]≤0 的話,公式就變?yōu)?1+2+3+…[a+1]);
關(guān)于互質(zhì)情況的詳細(xì)證明在此不作贅述,只以例 2 為例作簡(jiǎn)單分析幫助大家理解。
有 a 道題,總情況數(shù)=1+2+3+…[a+1]種 為什么會(huì)出現(xiàn)重復(fù),我們假設(shè)對(duì)了 m 道錯(cuò)了 n 道,當(dāng) m+n+4+1≤10 時(shí),例如對(duì)了 2 道錯(cuò)了 1道,我們可以在此基礎(chǔ)上多對(duì) 1 道、多錯(cuò) 4 道(1*4-4*1=0),相當(dāng)于增加了 0 分對(duì)總分沒(méi)影響,這就是出現(xiàn)重復(fù)的原因,要想避免重復(fù)的話 m+n 必須>5,所以答的題目數(shù)至少為 6道、要從⑦開(kāi)始加。
對(duì)于不互質(zhì)的情況,需要進(jìn)行一步簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化。
例 1:某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有 10 道選擇題,評(píng)分辦法是答對(duì)一道得 4 分,答錯(cuò)一道扣 2 分,不答得 0 分。設(shè)這次競(jìng)賽最多有 N 種可能的成績(jī),則 N 應(yīng)等于多少?
楚香凝解析:此時(shí) a=10、b=4、c=2,b 和 c 不互質(zhì),所以同時(shí)除以最大公約數(shù) 2,轉(zhuǎn)化為 a=10、b=2、c=1、a-b-c+1=8,代入公式(1+2+…+11)-(1+2+…8)=9+10+11=30; 或者我們也可以簡(jiǎn)化步驟,從 10+1=11 開(kāi)始遞減,總共有 2+1=3 個(gè)數(shù),即是 11+10+9=30。
變式:
例 2:某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有 10 道選擇題,評(píng)分辦法是回答完全正確得 5 分,不完全正確得 3分,完全錯(cuò)誤得 0 分。設(shè)這次競(jìng)賽最多有 N 種可能的成績(jī),則 N 應(yīng)等于多少? 楚香凝解析:我們只需做一步轉(zhuǎn)化,使之轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型。
雞兔同籠思想,假設(shè)初始為 30 分,相當(dāng)于 10 道題全部不完全正確,在此基礎(chǔ)上,每對(duì)一道增加 2 分、每錯(cuò)一道減少 3 分,那么就變成了 某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有 10 道選擇題,基礎(chǔ)分 30 分,評(píng)分辦法是回答完全正確得 2 分,不完全正確得 0 分,完全錯(cuò)誤得-3 分。設(shè)這次競(jìng)賽最多有 N 種可能的成績(jī),則 N 應(yīng)等于多少? 楚香凝解析:a=10、b=2、c=3,從 11 開(kāi)始往后加、總共 5 個(gè)數(shù),所以是 11+10+9+8+7=45種。
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