第99煉,歸納推理與類比推理
發(fā)布時間:2020-10-14 來源: 疫情防控 點擊:
第 99 煉 歸納推理與類比推理 一、基礎(chǔ)知識:
(一)歸納推理:
1、歸納推理:由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納),簡言之,歸納推理是由部分到整體,由個別到一般的推理 2、處理歸納推理的常見思路:
。1)利用已知條件,多列出(或計算出)幾個例子,以便于尋找規(guī)律 (2)在尋找規(guī)律的過程中,要注意觀察哪些地方是不變的(形成通式的結(jié)構(gòu)),哪些地方是變化的(找到變量),如何變化(變量變化的規(guī)律)
(3)由具體例子可將猜想的規(guī)律推廣到一般情形,看是否符合題意 3、常見的歸納推理類型:
。 1 )
函 數(shù) 的 迭 代 :
設(shè) f 是 D D ? 的 函 數(shù) , 對 任 意 x D ? , 記? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?0 1 2 1, , ,n nf x x f x f x f x f f x f x f f x?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?,則稱函數(shù)? ?? ?nf x 為 ? ? f x 的 n 次迭代;對于一些特殊的函數(shù)解析式,其? ?? ?nf x 通常具備某些特征(特征與 n )有關(guān)。在處理此類問題時,要注意觀察解析式中項的次數(shù),式子結(jié)構(gòu)以及系數(shù)的特點,以便于從具體例子中尋找到規(guī)律,得到? ?? ?nf x 的通式 (2)周期性:若尋找的規(guī)律呈現(xiàn)周期性,則可利用函數(shù)周期性(或數(shù)列周期性)的特點求出某項或分組(按周期分組)進行求和。
。3)數(shù)列的通項公式(求和公式):從數(shù)列所給的條件中,很難利用所學知識進行變形推導,從而可以考慮利用條件先求出幾項,然后找到規(guī)律,猜出數(shù)列的通項公式(求和公式)
(4)數(shù)陣:由實數(shù)排成一定形狀的陣型(如三角形,矩形等),來確定數(shù)陣的規(guī)律及求某項。對于數(shù)陣首先要明確“行”與“列”的概念。橫向為“行”,縱向為“列”,在項的表示上通常用二維角標ija 進行表示,其中 i 代表行, j 代表列。例如:34a 表示第 3 行第 4 列。在題目中經(jīng)常會出現(xiàn)關(guān)于某個數(shù)的位置問題,解決的方法通常為先抓住選取數(shù)的特點,確定所求數(shù)的序號,再根據(jù)每行元素個數(shù)的特點(數(shù)列的通項),求出前 n 行共含有的項的個數(shù),從而確定該數(shù)位于第幾行,然后再根據(jù)數(shù)之間的規(guī)律確定是該行的第幾個,即列。
(二)類比推理:
1、類比推理:由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理,稱為類比推理(簡稱類比)
2、常見的類比類型及處理方法:
(1)運算的類比:通常是運算級數(shù)相對應(yīng):
、 加法 ? 乘法, ② 數(shù)乘(系數(shù)與項的乘法)
? 指數(shù)冪 ③ 減法 ? 除法 (2)運算律的類比:在數(shù)學中的其它領(lǐng)域,如果滿足加法,乘法的交換律,以及乘法的分配律,則代數(shù)表達式部分運算公式可推廣到該領(lǐng)域中。例如 ①在向量數(shù)量積的運算中,滿足交換律與分配律,則:
代 數(shù) 中 的 平 方 差 公 式 :
? ?? ?2 2a b a b a b ? ? ? ? , 和 差 完 全 平 方 公 式 :? ?22 22 a b a ab b ? ? ? ?
均 可 推 廣 到 向 量 數(shù) 量 積 中 :? ?? ?2 2a b a b a b ? ? ? ? ,? ?22 22 a b a a b b ? ? ? ? ?
、谠趶蛿(shù)的運算中,滿足交換律與分配律,則實數(shù)中的運算公式可推廣到復數(shù)中(甚至是二項式定理)
。3)等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比:等差數(shù)列的性質(zhì)通常伴隨著一,二級運算(加減,數(shù)乘),等比數(shù)列的性質(zhì)通常伴隨著二,三級運算(乘除,乘方)。所以在某些性質(zhì)中體現(xiàn)出運算上的類比。例如:設(shè) ? ?na 為等差數(shù)列,公差為 d ; ? ?nb 為等比數(shù)列,公比為 q ,則 ① 遞推公式:11nn nnba a d qb??? ? ? ?
、 通項公式:
? ?11 11nn na a n d b b q?? ? ? ? ? ?
③ 雙項性質(zhì):m n p q m n p qm n p q a a a a m n p q b b b b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
④ 等間隔取項,在數(shù)列 ? ?na , ? ?nb 中等間隔的取項:
則1 2, , ,mk k ka a a 成等差數(shù)列1 2, , ,mk k kb b b ?
成等比數(shù)列 (4)維度的類比:平面幾何(二維)的結(jié)論與立體幾何(三維)的結(jié)論進行類比,當維度升高時,涉及的要素也將維度升高,例如:
、傥恢藐P(guān)系:平面中的線的關(guān)系 ? 空間中的面的關(guān)系,線所成的角 ? 線面角或二面角,
、诙攘浚壕段長度 ? 圖形的面積,圖形面積 ? 幾何體體積,點到線的距離 ? 點到平面距離 ③衍生圖形:內(nèi)切圓 ? 內(nèi)切球,外接圓 ? 外接球,面對角線 ? 體對角線 (5)平面坐標與空間坐標的類比:平面直角坐標系坐標 ? ? , x y ? 空間直角坐標系坐標? ? , , x y z ,在有些坐標運算的問題中,只需加上豎坐標的運算即可完成推廣,例如:
① 線段中點坐標公式:
平面:設(shè) ? ? ? ?1 1 2 2, , , A x y B x y ,則 AB 中點1 2 1 2,2 2x x y yM? ? ? ?? ?? ?
空間:設(shè) ? ? ? ?1 1 1 2 2 2, , , , , A x y z B x y z ,則 AB 中點1 2 1 2 1 2, ,2 2 2x x y y z zM? ? ? ? ?? ?? ? ② 兩點間距離公式:
平面:設(shè) ? ? ? ?1 1 2 2, , , A x y B x y ,則 ? ? ? ?2 21 2 1 2AB x x y y ? ? ? ?
空間:設(shè) ? ? ? ?1 1 1 2 2 2, , , , , A x y z B x y z ,則 ? ? ? ? ? ?2 2 21 2 1 2 1 2AB x x y y z z ? ? ? ? ? ?
3、同一個命題,不同的角度類比得到的結(jié)論可能不同,通常類比只是提供一個思路與方向,猜想出一個命題后通過證明才能保證其正確。在有關(guān)類比的題目中通常選擇正確的命題作為類比的結(jié)論 二、典型例題:
例 1:已知 ? ?xxf xe? ,定義 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?" ""1 2 1 1, , ,n nf x f x f x f x f x f x?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ,經(jīng)計算 ? ? ? ? ? ?1 2 31 2 3, , , ,x x xx x xf x f x f xe e e? ? ?? ? ?
照此規(guī)律,則 ? ?20151 f ? (
)
A. 2015 ?
B. 2015
C. 2014e
D.
2014e?
思路:由定義可知:
? ?nf x 即為 ? ?1 nf x?的導函數(shù),通過所給例子的結(jié)果可以推斷出? ? ? ? 1nnxx nf xe?? ? ,從而 ? ?20152015xxf xe?? ,所以 ? ?201520141 fe?
答案:C 例 2:蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師,單個蜂巢可以近似的看作是一個正六邊形,如圖為一組蜂巢的截面圖,其中第一個圖有 1 個蜂巢,第二個圖有 7 個蜂巢,第三個圖有19 個蜂巢,按此規(guī)律,第六幅圖的蜂巢總數(shù)為(
)
A.
61
B.
90
C.
91
D.
127
思路:從所給圖中可發(fā)現(xiàn)第 n 個圖可以視為在前一個圖的基礎(chǔ)上,外面圍上一個正六邊形,且這個正六邊形的每條邊有 n 個小正方形,設(shè)第 n 個圖的蜂巢總數(shù)為 ? ? f n ,則可知 ? ? f n 比? ? 1 f n?多的蜂巢數(shù)即為外圍的蜂巢數(shù)。即 6 6 n?
。織l邊 n 個,其中頂點被計算了兩次,所以要減 6 ),所以有 ? ? ? ? ? ? 1 6 1 f n f n n ? ? ? ? ,聯(lián)想到數(shù)列中用到的累加法,從而由? ? ? ? ? ? ? ?21 6 1 2 1 3 3 f n f n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?,且 ? ? 1 1 f ?
則 ? ?23 3 1 f n n n ? ? ? 。代入 6 n ? 可得 ? ?26 3 6 3 6 1 91 f ? ? ? ? ? ?
答案:C 例 3:將正整數(shù)排成數(shù)陣(如圖所示),則數(shù)表中的數(shù)字 2014 出現(xiàn)在(
)
A.
第 44 行第 78 列
B.
第 45 行第 78 列 C.
第 44 行第 77 列
D.
第 45 行第 77 列 思路:從數(shù)陣中可發(fā)現(xiàn)每一行的末尾均為一個完全平方數(shù),即第k 行最后一個數(shù)為2k ,所以考慮離 2014 較近的完全平方數(shù):2 244 1936,45 2025 ? ? ,所以 2014 位于第 45 行,因為 1936 是第 44 行的最后一個數(shù),所以 2014 為第 45 行中第? ? 2014 1936 78 ? ? 個數(shù),即位于第 45 行第 78 列 答案:B 例 4:已知結(jié)論:“在 ABC 中,各邊和它所對角的正弦比相等,即sin sin sina b cA B C? ? ”,若把該結(jié)論推廣到空間,則結(jié)論為:“在三棱錐 A BCD ? 中,側(cè)棱 AB 與平面 ACD ,平面BCD 所成的角為 , ? ? ,則有(
)
A.
sin sinBC AD? ??
B.
sin sinAD BC? ??
C.
sin sinBCD ACDS S? ??
D.
sin sinACD BCDS S? ??
思路:本題為維度推廣題,平面中的線段所成的夾角推廣為線面角,所以可將正弦定理的邊長(一維度量)類比推廣為面積(二維度量),正弦定理中為角所對的邊長,則在三棱錐中推廣為線面角所對的側(cè)面面積,即 ? 所對的側(cè)面為平面 BCD , ? 所對的側(cè)面為平面 ACD ,
所以猜測sin sinBCD ACDS S? ?? ,再考慮證明其正確性。證明過程如下:
證明:分別過 , B A 作平面 ACD ,平面 BCD 的垂線,垂足分別為 , E F
由線面角的定義可知:
, BAE ABF ? ? ? ? ? ?
1 1sin3 3B ACD ACD ACDV S BE S AB ??? ? ? ? ? ? ? ?
同理:1 1sin3 3A BCD BCD BCDV S AE S AB ??? ? ? ? ? ? ? ?
1 1sin sin sin sin3 3ACD BCD ACD BCDS AB S AB S S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
sin sinBCD ACDS S? ?? ? 得證 答案:C 例 5:三角形的面積 ? ?12S a b c r ? ? ? ? ,其中 , , a b c 為其邊長, r 為內(nèi)切圓半徑,利用類比法可以得出四面體的體積為(
)
A.
? ?1 2 3 412V S S S S r ? ? ? ? ? (其中1 2 3 4S S S S ? ? ? 分別為四個面的面積, r 為內(nèi)切球的半徑)
B. 13V S h ? ? ( S 為底面面積, h 為四面體的高)
C. ? ?1 2 3 413V S S S S r ? ? ? ? ? (其中1 2 3 4S S S S ? ? ? 分別為四個面的面積, r 為內(nèi)切球的半徑)
D. ? ?13V ab bc ac h ? ? ? ? ( , , a b c 為底面邊長, h 為四面體的高)
思路:本題為維度題,在三角形中,面積依靠內(nèi)切圓半徑與邊長求解。則在四面體中,內(nèi)切圓類比成內(nèi)切球,邊長類比為面積。所以四面體的體積與內(nèi)切球半徑與各面面積相關(guān),即在A,C 中挑選?紤]在三角形中,可通過連接內(nèi)心與各頂點,將三角形分割為三個小三角形,底邊為各邊邊長,高均為半徑 r ,所以面積 ? ?12S a b c r ? ? ? ? ,其中系數(shù)12來源于三角形面積公式。進而類比到四面體中,可通過連接內(nèi)切球的球心與各頂點,將四面體分割為 4個小四面體,以各面為底面,內(nèi)切球半徑為高。從而 ? ?1 2 3 413V S S S S r ? ? ? ? ? 。系數(shù)13來源于棱錐體積公式 答案:C
例 6:若數(shù)列 ? ?na 是等比數(shù)列,且 0na ? ,則數(shù)列? ?1 2nn nb a a a n N?? ? ? ? 也是等比數(shù)列.若數(shù)列 ? ?na 是等差數(shù)列,可類比得到關(guān)于等差數(shù)列的一個性質(zhì)為(
)
A. 1 2 nna a abn? ?? 是等差數(shù)列
B. 1 2 nna a abn? ? ?? 是等差數(shù)列 C. 1 2nn nb a a a ? ? ? 是等差數(shù)列
D. 1 2 nnna a abn? ? ?? 是等差數(shù)列 思路:考慮在等比數(shù)列中,很多性質(zhì)為應(yīng)用二三級運算(乘除法,乘方開方),到了等差數(shù)列中,很多性質(zhì)可類比為一二級運算(加減,數(shù)乘)。在本題中所給等比數(shù)列用到了乘法與開方,所以可聯(lián)想到類比等差數(shù)列,乘法運算對應(yīng)類比為加法,開方運算對應(yīng)類比為除法。所以該性質(zhì)為:若數(shù)列 ? ?na 是等差數(shù)列,則1 2 nna a abn? ? ?? 是等差數(shù)列。這個命題是正確的,證明如下:
證明:設(shè)等差數(shù)列 ? ?na 的公差為 d ,則
1 2 1 1 211n n nn na a a a a a ab bn n??? ? ? ? ? ? ?? ? ??
? ? ? ?? ?? ?1 2 1 1 211n n nn a a a a n a a an n?? ? ? ? ? ? ? ? ???
? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 1 1 1 11 1n n n n n nna a a a a a a a a an n n n? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?na 為等差數(shù)列
? ? ? ?11 , 1,2, ,n ia a n i d i n?? ? ? ? ? ?
? ?? ?? ?? ?? ?? ?111 1 221 1 1 2n nn ndnd n d d d n db bn n n n n n???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
? ?nb ? 為公差是2d的等差數(shù)列 答案:B 例 7:對于大于 1 的自然數(shù) m 的三次冪可用奇數(shù)進行一下方式的“分裂”:32=3 5? ,33 7 9 11 ? ? ? ,34 13 15 17 19 ? ? ? ? ,…,仿此,若3m 的“分裂數(shù)”中有一個是 61 ,則 m 的值是(
)
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
思路:觀察這幾個等式不難發(fā)現(xiàn)以下特征:(1)3n 可分解為 n 個連續(xù)奇數(shù)的和,(2)從32 開始這些奇數(shù)是按 3,5,7,9,
順次排列的。所以在第 n 個數(shù)時,所用的奇數(shù)的總數(shù)為? ?? ? 2 12 32n nn? ?? ? ? ? 個。從 3 開始算起, 61 是第61 31 302?? ? 個奇數(shù)。當7 n ? ,可知所用的奇數(shù)總數(shù)為 27 個,當 8 n ? ,可知所用的奇數(shù)總數(shù)為 35 個。所以 8 m ?
答案:C 例 8:從 1 開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列,現(xiàn)有一個三角形框架在圖中上下或左右移動,使每次恰有九個數(shù)在此三角形內(nèi),則這九個數(shù)的和可以為(
)
A.
2097
B.
2112
C.
2012
D.
2090
思路:當三角形在移動時,觀察其規(guī)律,內(nèi)部的數(shù)如果設(shè)第一行的數(shù)為 a N ? ? ,則第二行的 數(shù) 為 7, 8, 9 a a a ? ? ? , 其 和 為 ? ? 3 8 a? , 第 三 行 的 數(shù) 為14, 15, 16, 17, 18 a a a a a ? ? ? ? ? , 其 和 為 ? ? 5 1 6 a? , 所 以 這 九 個 數(shù) 的 和 為? ? ? ? 3 8 5 16 9 104 S a a a a ? ? ? ? ? ? ?,代入到各個選項中看能否算出 a 即可。通過計算可得:
9 104 2012 a? ? 時, 212 a ? 符合題意 答案:C 例 9:某種游戲中,黑,白兩個“電子狗”從棱長為 1 的正方體1 1 1 1ABCD ABC D ? 的頂點 A出發(fā),沿棱向前爬行,每爬完一條棱稱為“爬完一段”,黑“電子狗”爬行的路線是1 1 1AA AD ? ? ,白“電子狗”爬行的路線是1AB BB ? ? ,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第 2 i ? 段與第 i 段所在直線必須是異面直線(其中 i N?? ),設(shè)黑“電子狗”爬完2012 段,白“電子狗”爬完 2011 段后各自停止在正方體的某個頂點處,這時黑、白“電子狗”間的距離是_____________
A 1AB 1BCC 1DD 1 D 1DC 1CBB 1AA 1
思路:首先根據(jù)題目中所給規(guī)則,觀察“電子狗”所走路徑的規(guī)律。會發(fā)現(xiàn)黑“電子狗”所走的路線為1 1 1 1 1 1AA AD DC C C CB BA ? ? ? ? ? ,然后周而復始,以 6 為周期;白“電子狗”所走的路線為1 1 1 1 1 1AB BB BC C D D D DA ? ? ? ? ? ,也是以 6 為周期。從而由周期性的規(guī)律可得:
2012 6 335 2 ? ? ,則黑電子狗到達1D ; 2011 6 335 1 ? ? ,所以白電子狗到達 B ,所以只需計算1BD 即可,由正方體性質(zhì)可知13 BD ?
答案:
3
例 10:把正整數(shù)按一定的規(guī)律排成了如圖所示的三角形數(shù)陣,設(shè)? ?,ija i j N ? ? 是位于這個三角形數(shù)中從上往下數(shù)第 i 行,從左往右數(shù)第 j 列的數(shù),如325, a ?
若 2015ija ? ,則 i j ? ?
(
) A.
111
B.
110
C.
108
D.
105 思路:觀察三角形數(shù)陣可知奇數(shù)行中的數(shù)均為奇數(shù),偶數(shù)行均為偶數(shù)。所以可知 2015ija ?一定在奇數(shù)行中,先確定 i 的值,因為奇數(shù)構(gòu)成首項為 1,公差為 2 的等差數(shù)列,所以第 k 個奇數(shù) ? ? 1 1 2ka k ? ? ? ? ,因為 ? ? 2005 1 2 1008 1 ? ? ? ,所以可得 2015 為第 1008 個奇數(shù),考慮 2015 前面的奇數(shù)共占了多少行。由第 i 行由 i 個奇數(shù)可得:前 31 個奇數(shù)行內(nèi)奇數(shù)共有? ? 31 31 131 1 9612? ?? ? ? ,前 31 個奇數(shù)行內(nèi)奇數(shù)共有? ? 32 32 132 1 10242? ?? ? ? ,而961 1008 1024 ? ? ,所以 2015 在第 32 個奇數(shù)行中,即 63 i ? ,再考慮 j 的值,第 31 個奇數(shù)行最后一個奇數(shù)為 961 2 1 1921 ? ? ? ,因為2015 1921472?? ,所以 2015 為第 32 個奇數(shù)行的第 47 個數(shù),即 47 j ? ,從而 110 i j ? ?
答案:C
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