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例談函數(shù)奇偶性應(yīng)用中的兩類求值問題

發(fā)布時間:2018-06-22 來源: 幽默笑話 點擊:


  函數(shù)奇偶性是函數(shù)的主要性質(zhì),在解題中運用很廣泛,下面就結(jié)合具體例子談一談關(guān)于函數(shù)奇偶性應(yīng)用中的兩類求值問題。
  一、利用函數(shù)的奇偶性直接求值
  例1:f(x)是R上的奇函數(shù),x∈(0,+∞)的解析式為f(x)=■.求f(-1)的值.
  解1:∵f(x)是R上的奇函數(shù)∴f(-x)=-f(x),則f(-1)=-f(1)
  ∵f(x)=■,x∈(0,+∞) ∴f(1)=■
  ∴f(-1)=-f(1)=-■
  解2:設(shè)x∈(-∞,0),則-x∈(0,+∞),∴f(-x)=■=■
  ∵f(x)是R上的奇函數(shù)∴f(-x)=-f(x),則f(x)=-f(-x)=
  -■=■
  則x∈(-∞,0)的函數(shù)解析式為f(x)=■,∴f(-1)=■=-■
  點評:利用函數(shù)的奇偶性求值主要是將未知的值或區(qū)間轉(zhuǎn)化為已知的值或區(qū)間變式:設(shè)f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),且f(x)+g(x)=■,求函數(shù)f(2)、g(2)的值.
  解∵f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),
  ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),由f(x)+g(x)=■①
  用-x代換x得f(-x)+g(-x)=■,
  ∴f(x)-g(x)=■②
 。á+②)÷2,得f(x)=■;則f(2)=■
  (①-②)÷2,得g(x)=■.則g(2)=■
  例2:已知x,y∈R滿足(x-1)3+2018(x-1)=-1,(y-1)3+2018(y-1)=1,求x+y的值.
  解:設(shè)g(t)=t3+2018t,而且容易知道g(-t)=-g(t),∴g(t)在R上是奇函數(shù)
  ∵(x-1)3+2018(x-1)=-1 ∴g(x-1)=-1
  ∵(y-1)3+2018(y-1)=1 ∴g(y-1)=1
  g(x-1)=-g(y-1)
  則∴x-1=-(y-1)
  ∴x+y=2
  點評:觀察式子特點,將x-1,y-1視為一個整體構(gòu)造函數(shù)g(t)=t3+2018t,再利用函數(shù)的奇偶性找到x-1,y-1的關(guān)系,進(jìn)而求出x+y=2
  以上兩例都是已知或可證明函數(shù)的奇偶性解決求值問題,下面若是遇見非奇非偶函數(shù)可以間接處理。
  二、利用函數(shù)的奇偶性間接求值
  例3:f(x)=ax3+bx+c3■+8且f(-2)=10,求f(2)的值
  解:設(shè)g(x)=f(x)-8,則g(x)=ax3+bx+c3■是在R上的奇函數(shù)
  g(-2)=f(-2)-8=10-8=2,
  ∴g(2)=-g(-2)=-2
  又∵g(2)=f(2)-8
  ∴-2=f(2)-8
  則f(2)=8-2=6
  點評:例題中雖然函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù),但觀察表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)其間存在奇偶性的表達(dá)式,所以可將f(x)=g(x)-8轉(zhuǎn)化為奇函數(shù)g(x)求值從而間接求出f(2)的值。
  例4:已知f(x)=x3+3x2+6x+14,f(a)=1,f(b)=19,求a+b的值
  解:∵f(x)=x3+3x2+6x+14=(x+1)3+3(x+1)+10
  ∵f(a)=(a+1)3+3(a+1)+10=1
  f(b)=(b+1)3+3(b+1)+10=19
  ∴(a+1)3+3(a+1)=-9
  ∴(b+1)3+3(b+1)=9
  設(shè)g(t)=t3+t,而且g(t)在R上是奇函數(shù),則a+1=
  -(b+1),∴a+b=-2
  點評:本題通過巧妙構(gòu)造新的“準(zhǔn)奇偶性”的函數(shù)來解決函數(shù)中的求值問題,這種利用奇偶性構(gòu)造方法在以后的學(xué)習(xí)中是常用的方法。
 。空S編輯 張珍珍

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